مبانی آکوستیک

تارهای مرتعش

بخش پنجم

انرژی ارتعاش

انرژی ارتعاشی سیم را می توان با همان روشی که در نوسانگر  ساده به کار رفت محاسبه کرد ( بخش 7-1). ولی راه ساده تر، استفاده از این اصل است که در هر دستگاه تلف نکننده، انرژی کل ثابت و برابر ماکسیمم انرژی جنبشی آن است. هر ارتعاش هارمونيك n ام در تار بدین صورت است

که برای هر x معینی مصرف ارتعاش یک نقطه محسوب می شود. سرعت حرکت ارتعاشی این نقطه چنین است

و مقدار ماکسیمم آن این است

اگر نقطه مرتعش را قطعه بینهایت کوچکی از سیم به طول dx و چگالی خطی سیم را فرض کنیم، جرم مرتعش و انرژی جنبشی ماکسیمم آن چنین خواهد شد

اگر انرژی همه نقاط سیم را با هم جمع کنیم خواهیم داشت

که در آن  mجرم تمام سیم و  دامنه ی ماکسیمم هارمو نيك nام است. بدیهی است همین مقدار برابر انرژی پتانسیل ماکسیمم تار است.

در سیمی که در نقطه وسط خود به وسیله مضراب تحريات شده باشد انرژی بدین مقدار است

م m ne2 83 16n H2

چنانکه ملاحظه می شود، انرژی هارمونيك اصلی تار 9 برابر انرژی هارمونیك سوم و 25 برابر هارمونيك پنجم آن است. بدیهی است نقطه بر خورد مضراب به سیم هارمونیکهای آن و توزیع انرژی در آنها را تغییر می دهد. ولی می توان نشان داد که مجموع انرژیهای هارمونیکهای ارتعاش سیم برابر کاری است که به وسيله مضراب برای ایجاد ارتعاش مصرف شده است، و این همان أصل بقای انرژی است.

ارتعاشهای واداشته در تار بینهایت دراز

ساده ترین نوع تولید ارتعاش واداشته در يك تار وارد کردن نیروی محرك سینوسی به يك سر آن است، در حالی که سر دیگر بر پایه ای ثابت شده باشد. بحث را در موردی آغاز می کنیم که طول تار بینهایت فرض شده باشد. اگرچه مطالعه این حالت فقط جنبه نظری دارد، ولی راه را برای موارد عملی که در آن طول تار محدود است باز می کند؛ و بعلاوه چگونگی انتشار انرژی صوتی را که در فصلهای آینده خواهد آمد روشن می سازد. تار بینهایت درازی فرض می کنیم که به يك سر آن در نقطه نیروی محرك عرضی به صورت وارد شود، و سر دیگر در فاصله دور  به پایه ای محکم شده باشد. فرض می کنیم پایه متصل به سر سیم، نقطه 0 ، در امتداد x حرکتی نداشته باشد، ولی در امتداد  y آزادانه حرکت کند. می توان انتهای تار را به دستهای متصل کردکه طول آن ثابت و يك سر آن متصل به تار آزاد و تحت تأثیر نیروی محرك نوسان کند، و سر دیگر آن به نقطه ثابتی سوار شده باشد ( شكل 7-2) در آنچه خواهد آمد، فرض بر این است که امپدانس مکانیکی دسته در محاسبه قابل چشم پوشی باشد، یعنی بسیار سبك و بی سختی باشد.

شکل 7-2ایجاد ارتعاش وا داشته به وسیله دسته.

چون در ازای سیم بینهایت فرض شده است، موجهای انعکاسی در آن ایجاد نمی شوند، و موجهای حاصل از چپ به راست منتشر می گردند. بنا بر این، تغییر مکان هر نقطه از تار با معادله موجهای پیشرونده معرفی می شود، یعنی

که به صورت مختلط می توان چنین نوشت

در معادله بالا A پایایی است مختلط که مقدار آن نماینده دامنه حرکت و فاز آن نماینده اختلاف فاز حرکت نسبت به نیروی راننده است.

نیروی راننده به صورت مختلط چنين است

امتداد بسته تار در انتهای چپ خود متصل به دسته در لحظه معين با امتداد افق (وضع تعادل سیم) زاویه  می سازد (شكل 2.7) و می توان نوشت

اگر کشش تار را در امتداد مماس به مبدأ آن T  فرض کنیم، نیرویی که دسته در امتداد محور افقی به انتهای تار وارد می سازد برابر است؛ که چون تغيير مكان راكوچك گرفته ایم می توان پیوسته آن را مساوی و مخالف T فرض کرد. همچنین، نیروی مؤثر وارد به سیم در امتداد y برابر است که می توان در تقريب اول برابر گرفت، بنابراین

در واقع، این رابطه هنگامی صادق است که شکل تار ارتعاش عادی خود را یافته و با نمایش آن در شکل 2.7 تطبیق کند، یعنی نیروی کشش، مماس بر منحنی شکل تار قرار گیرد.

با جایگذاری f و y از معادله های 2.28 وa 2.27، به دست می آید

یا

قدر مطلق این دامنه مختلط   است. چون معادله 2.31 در معادلهa 2.27 بگذاریم، و نسبت به زمان مشتق بگیریم، سرعت به صورت مختلط به دست می آید

اکنون امپدانس مکانیکی با امپدانس موجی تار را نسبت نیروی راننده به سرعت عرضی سیم در نقطه  تعریف می کنیم، یعنی

که مقداری است حقیقی و مؤلفه انگاری ندارد. این می رساند که تار در مقابل نیروی راننده مقاومت می کند. امپدانس ورودی تابع چگالی خطی و کشش تار است، و به نیروی راننده ای که به تار وارد می شود بستگی ندارد. بنابراین، می توان آن را یکی از ویژگیهای خود تار دانست، و چگونگی موجهایی که در آن انتشار می یابند در آن دخالت ندارد؛ از این روی، آن را امپدانس (مقاومت) مکانیکی مخصوص تار می نامند، که مشابه امپدانس الکتریکی مخصوص خط تراگسیل بینهایت در از برق است.

توان ورودی متوسط تار، مقدار متوسط توان لحظه ای ، ، در نقطه 0 ، بدین مقدار است

که در آن دامنه سرعت تار در نقطه  x=0 است.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت