مبانی آکوستیک

تارهای مرتعش

بخش ششم

ارتعاشهای واداشته در تار به طول محدود.

امپدانس ورودی در تار محدود به – سادگی امپدانس ورودی در تار نامحدود نیست. انعكاسهای موجها از انتهای تار، فرکانسهای رزونانس ایجاد می کنند که سبب تغيير امپدانس بر حسب فرکانس نیروی راننده می گردد. اگر انتهای تار بر پایه ثابتی استوار باشد و نیروهای مصرف کننده در آن موجود نباشند، امپدانس ورودی تبدیل به راكتانس تنها می شود، و این بدان معنی است که توان در دستگاه به مصرف نمی رسد.

صورت مختلط موجهای عرضی در تاری به طول محدود، باید دارای جمله معرف موج انعکاس باشد؛ مثلا به جای معادله a2.27 باید داشته باشیم :

در انتهای چپ تار، شرط مرزی چنین است:

که به ازای تمام مقادیر زمان برقرار است. اگر معادلة 2.35 را در معادله بالا بگذاریم، این رابطه به دست می آید:

با فرض ثابت بودن انتهای تار، يعني  ، در شرط مرزی آن می توان نوشت

از دو معادله 2.37

و 2.38  و 2.38  مقادیر A و B محاسبه می شوند.

و

که اگر آنها را در معادله 2.3.5 بگذاریم معادله انتشار موج در تار به دست می آید

یا

قسمت حقیقی این تابع مجموعه ای از موجهای ساکن تار را معرفی می کند که گره های آن در نقاطی قرار دارند که برای آنها  است. شرایط مرزی نشان می دهد که در نقطه   همیشه گره وجود دارد، اما تغییر مکان  و در   در حالت عمومی دارای مقدار معین و محدودی است

که با مقدار دامنه در نقاط شكم فرق دارد. در این نقاط دامنه شكم بدین مقدار است

مخرج کسر بالا به ازای فرکانسهایی که برای آنها  است صفر می شود،

یا

و دامنه شکمها در این فرکانسها بینهایت می گردد. ولی این پیش بینی در عمل صادق نیست ، چه همیشه مقداری نیروی مصرف کننده در تار موجود است که سبب کاهش دامنه می شود؛ و ما در محاسبه از آن چشم می پوشیم – می توان گفت که در این فرکانسها دامنه های شکم به ماکسیمم مقدار خود می رسند.

همچنین، در فرکانسهای دیگر حاصل از  دامنه شکم مینیمم می گردد،

یا

یا

 

در معادله های 2.41 و 2.41a  روشن است که دامنه های مینیمم با افزایش فرکانس کاهش می یايند. مقایسه ای با معادله 2.14 نشان می دهد که فرکانسهای دامنه مینیمم برای تاریه با ارتعاشهای واداشته با فرکانسهای ارتعاش آزاد آن برابر است. بدین سبب، در مورد سیم واداشته این فرکانسها را آنتی رز نان می نامند. در مدارهای موازی خطهای ترا گسیل برقی نیز نظیر این گونه فرکانسها به همین نام خوانده می شوند.

از مشتق معادله مسافت 2.40 بر حسب زمان، معادله سرعت در تار واداشته به دست  می آید

بنابراین، امپدانس مکانیکی ورودی () بدین صورت مختلط در می آید .

که به صورت راكتانس تنهاست. یعنی توانی به وسیله تار گرفته نمی شود.

تغییرات امپدانس ورودی در نتایجی که در تغییرات دامنه به دست آمد نهفته است. در فرکانسهایی که در رابطه صادق هستند، یعنی همان فرکانسهای به دست آمده از معادله 2.42، اميد نس ورودی صفر و دامنه ارتعاش ماکسیمم است. در فرکانسهای حاصل از معادله  2.43 ، ، بینهایت است، و حرکت انتهای واداشته تار بینهایت کوچک است، در حالی که بقیه تار در حال ارتعاش است. امپدانس ورودی تار واداشته که در انتهای دیگر خود ثا بسته باشد ، همدا نند امپدانس ورودی خط تراگسیل برق بی مقاومتی است که در انتهای دورخود باز باشد. نتیجه های به دست آمده از معادله های انتشار در یکی از این دو دستگاه قابل تطبيق بر دیگری است.

در فرکانسهای خیلی کم، امپدانس ورودی به مقدار حد خود می رسد.

که برابر امپدانس ورودی فنر ساده است که ثابت سختی آن، s، برابر  باشد؛ و در مدار الکتریکی یا خط تراگسیل انرژی، معادل راكتانس ظرفیتی است.

ارتعاش آزاد تارهای معمولی.

ارتعاش آزاد در تارهای معمولی، که در عمل می توان یافت با تاری که با شرايط خاص، مورد بحث قرار گرفت تفاوت دارد. اگر مقدار سختی تارقابل چشم پوشی نباشد، مانند سیمهای فولادی، فرکانسهای ارتعاشی بیش از مقداری است که در معادله 2.14 پیش بینی می شود، و آن به سبب وجود نیروهای ارتجاعی سیم است که به نیروی کشش اضافه می شوند. افزایش فرکانس در فرکانسهای بالا بیشتر مشهود است، و فرکانسهای هارمونیکهای بالاتر بیش از فرکانس صوت اصلی افزایش می یابند و این بدان معنی است که در سیمهای معمولی فرکانس های هارمونیکهای بالا از قانون مضارب اصلی تبعیت ندارند. بعلاوه هر نوع حرکت عرضی پایه ها و نقاط اتکای دو انتهای سیم هرچند جزئی باشد چنانکه در مورد اسبابهای موسیقی که خرك روی پوست یا صفحه چوبی قابل انعطاف، استوار قرار دارد نیز چنین است و سبب تغییر شرایط مرزی می گردد. و در تغییر فرکانس هارمونیکها و فرکانس اصلی مؤثر است. در اینگونه موارد در نقاط سرحدی   و  ، y برابر صفر نیست بلکه تنها شرطی که می توان پذیرفت اینستکه امپدانس سیم در این نقاط برابر امپدانس مکانیکی عرض پایه ها می باشد.

این حالات را می توان به حالتی که در آن انتهای سیم به دسته متصل است تشبیه نمود (15-2). فرض می کنیم انتهای چپ تار به دستهای متصل باشد که بتواند آزادانه حول لولایی نوسان عرضی کند. نیروی   که سیم در نقطه به دسته وارد می سازد چنین است

که در آن y صورت مختلط موج عرضی تار است و با معادلة 2.35 داده می شود.

چون سرعت دسته در نقطه اتصال سیم برابر سرعت انتهای سیم در این نقطه است ، می توان نوشت

بنابراین امپدانس مکانیکی دسته در این نقطه چنین است

بنابراین شرط مرزی در نقطه   بدین صورت خواهد بود

همچنین می توان نشان داد که شرط مرزی در نقطه  بدين صورت است

که در آن   امپدانس مکانیکی پایه در نقطه  است. در مورد پایه های ثابت و محکم، و  برابر بینهایت هستند، و y در این نقطه ها صفر است؛ در غیر این صورت هر قدر حرکت پایه جزئی باشد،  y در آنها صفر نیست.

اگر امپدانس عرضی پایه ها جرم تنظیم شده باشد که به صورت راكتانس مثبت جلوه می کند، نتیجه شرایط مرزی فوق در مقدار فرکانسهای طبیعی تار در مورد پایه های ثابت افزایش پدید می آورد. زیرا در اثر حرکت نقاط مرزی گرههای موجود در این نقاط در پایه های ثابت به داخل رانده می شوند و سبب کوتاهی طول موج و افزایش فرکانس می گردند . در این حالت حرکت پایه نسبت به نیروی راننده واردشده به وسیله تار، عقب است، چنانکه در هر نوع دستگاه جرم تنظیم شده نیز چنین است.

اگر امپدانس عرضی پایه ها سختی تنظیم شده باشد، که به صورت راكتانس منفی جلوه می کند، حرکت پایه ها نسبت به نیروی راننده تار وارد بر پایه ها، همفاز می شود. نتیجه آن است که گره های موجود در نقاط مرزی پایه های پایه های ثابت به سوی خارج رانده شده  به صورت گروههای مجازی تشکیل می شوند، و نتیجه آن افزایش طول موج و کاهش فرکانسهاست. و اگر امپدانس مکانیکی عرضی پایه ها مقاومت تنظیم شده باشد، مقداری انرژی در آنها به مصرف می رسد. در این صورت، دامنه ارتعاش در نقاط گره که در مورد پایه های ثابت باید صفر باشند دارای مقدار معینی هستند. در بحث مربوط به تارهای مرتعش که شرح آن گذشت تأثیر محیط اطراف سیم را نادیده گرفتیم. این عامل از بسیاری جهات در ارتعاش تار مؤثر است. یکی از تأثیرات محیط ایجاد نیروی مقاومتی در آن است که با حرکت تار مخالفت می کند و سبب میرایی ارتعاش آن می گردد. چنانکه در نوسانگر ساده به تفصیل شرح آن گذشت، نتیجه آن كاهش فرکانس است. مقداری از انرژی ارتعاشی به صورت گرما به محیط اطراف خود داده می شود، و مقداری به مصرف پخش انرژی صوتی می رسد.

 

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت