مبانی آکوستیک

ارتعاش های میله ها

بخش اول

ارتعاش های طولی در میله

نوع مهم دیگری از حرکت موجی، انتشار موجهای طولی در میله است. هنگامی که آشفتگی موج طولی در طول چنين میله ای منتشر می شود، جابجایی ذرات میله به موازات محور آن است. اگر ابعاد عرضی میله نسبت به طول آن كوچك باشد، هر سطح مقطع عمود بر محور را می توان واحد متحرکی گرفت. در واقع، هنگام انتشار موج طولی در میله، تراكم و انبساط لایه ها سبب اندکی جابجائی نقاط میله در امتداد عرضی می شود. ولی اگر میله نازك باشد می توان حرکات جانبی لایه ها را نادیده گرفت.

کاربردهای میله های مرتعش با موجهای طولی در وسائل آکوستیکی فراوان است. از از جمله میله های استانده فرکانس، با بعاد مختلف برای تولید صدا با ارتفاعهای مشخص را می توان نام برد. در این میله ها، فرکانس نسبت عکس با طول دارد. همچنین در تراگذارهای صوتی اغلب لوله های نیکلی با موجهای طولی برای تحريك دیافراگم به کار برده می شود. بلورهای پیزوالكتريك را چنان برش میدهند که فرکانس موج طولی آن در امتداد محور مشخص باشد و آن را برای کنترل فرکانس در جریان الکتریکی نوسان کننده به کار می برند. همچنين تراگذارهای الکترواستاتیکی به عنوان مولد ارتعاش یا منتقل کننده آن به کار می روند.

دلیل دیگری برای مطالعه ارتعاشهای طولی میله این است که به شناخت موجهای آکوستیکی کمک می کند. نه تنها عبارتهای ریاضی متعلق به تراگسیل موجهای تخت در شارهها شباهت بسیار به عبارتهای تراگسیل موجهای تراکمی در طول میله دارند، بلکه اگر شاره به لوله صلبی محدود باشد همبستگی نزدیکی بین شرایط مرزی این دو مورد مشاهده می شود.

استرین طولی

میله ای به طول  و مقطع عرضی یکنواخت s و در نظر میگیریم که تحت تأثیر نیروهای طولی قرار گرفته باشد. تأثیر این نیروها سبب تغییر مکان ذرات آن در امتداد محور می گردد که مقدار آن  را می توان برای همه نقاط واقع در يك سطح مقطع عرضی عمود بر محور یکسان فرض کرد. اگر نیروهای مؤثر ثابت باشند، به زمان t بستگی ندارد و تنها تابعی از x معرف وضع هر سطح مقطع در میله، می باشد. اگر نیروهای مؤثر متغیر باشند آشفتگی موجی در آن پدیدار می شود و  هم تابع x و هم تابع t می گردد، و چنانکه سطح مقطع نسبت به طول میله کوچک باشد به مختصات دیگر  y و z بستگی ندارد، و می توان نوشت

مختصات انتهای سمت چپ و انتهای سمت راست میله را  و   فرض می کنیم و لایه ای از آن به طول dx بين دو سطح مقطع x و  اختیار می کنیم، شكل 1-3 اگر نیروهای مؤثر سبب تغییر مکان سطح مقطع واقع در وضع x به میزان  به طرف راست شوند، در اثر انتقال موج طولی تغییر مکان سطح مقطع واقع در وضع  به میزان  به طرف راست خواهد بود. طبق قرارداد این کتاب، مقدار مثبت   تغيير مكان به طرف راست، و مقدار منفی آن تغییر مکان به سمت چپ فرض می شود.

چون dx كوچك فرض شده است، مقدار تغییر مکان در وضع  را می توان با دو جمله سری تیلر بر حسب   به دست آورد

چون سطح قاعده چپ لايه dx به اندازه  و سطح قاعدۂ سمت راست به اندازه  به طرف راست تغییر مکان یافته است، پس افزایش طول لایه بدین مقدار است

بنابر این، استرین لایه، یعنی انبساط واحد طول میله، این اندازه است

توجه دارید که  تابع دو متغیر x و t است، و باید مشتقهای جزئی آن را بگیریم، نه مشتق کلی. یاد آور می شویم که مقدار انبساط هنگامی که نیروی ثابتی به میله وارد شود، در حال استاتيك، پیوسته در تمام نقاط میله یکسان است؛ ولی در تأثیر نیروهای متغیر و حالت

ديناميك، انبساط هم به زمان t و هم به جای نقطه x بستگی دارد. همین خاصیت است که سبب ایجاد موج طولی شبیه موج عرضی تار مرتعش، در میله می شود.

معادلة موج طولي.

هنگام انبساط میله نیروهای الاستيك در آن پدیدار می گردند. امتداد این نیروها عمود بر مقطع های عرضی میله و عمل آن اتصال لایه های میله به یکدیگر است. در آینده این نیروها در هر سطح مقطع بستگی به زمان و وضع آن سطح دارد، و می توان به صورت    نمایش داد. بنا بر قرارداد مقدار مثبت  را نماینده تراکم اختیار می کنیم، چنانکه در شکل  3.2  دیده می شود. در این صورت، این نیرو قابل مقایسه با فشار در شاره است و مقدار منفی آن نماینده کشش محسوب می شود.

استرس را در میله با نسبت زیر معرفي

که در آن، s سطح مقطع عمود بر محور میله است. با به کار بردن قانون هوك، بين استرس و استرین رابطه زیر برقرار است

که در آن Yپایایی است به نام مدول یانگ. این پایا خاصیت مشخصه مادة ميله است. چون استرس مثبت با استرین منفی همراه است، علامت منهای معادل 3.4  سبب مثبت بودن پایای Y می شود. مقدارهای Y برای تعدادی از جامدات، در جدول I ضمیمه کتاب داده شده است. معادله  3.4 را به صورت زیر می نویسیم:

که معرفی نیروهای درونی طولی میله است.

در حال تعادل، که استرین   در سراسر میله مقدار پایایی دارد، نیروی  نیز پایاست. ولی در حال حرکت لایه های میله، استرین و نیروی داخلی هنر دو متغير ند، و در نتیجه برآیند نیروهای داخلی دارد به هر لایه صفر نیست؛ و باعث حرکت آن می شود. اگر  نیروی داخلی وارد بر مقطع x باشد، نیروی وارد بر مقطع  در جهت مخالف برابر  خواهد بود، و بنا بر این برآیند این دو نیرو در جهت مثبت  وارد به لايه dx بدين مقدار است

 

اگر از رابطه 3.5 در معادلة فوق استفاده کنیم،  برحسب  به دست می آید

اگر چگالی حجمی میله را  فرض کنیم، خرم لايه dx برابر   می شود؛ و معادله حرکت آن بدین صورت است

یا

که در آن  به ابعاد مجذور سرعت 2 است. با در نظر گرفتن آن معادله انتشار موج طولی در میله بدین صورت در می آید

چنانکه ملاحظه می شود، این معادله مشابه معادله موج عرضی در تار مرتعش (2.5) است ، که به جای تغییر مکان عرضی تغییر مکان طولی   در آن به کار رفته است. پس، معادله 3.7 را معادله موج طوای يك بعدی می نامند.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت