مبانی آکوستیک

ارتعاش های میله ها

بخش چهارم

ارتعاشهای عرضی میله،

میله قابلیت ارتعاش عرضی و نیز قابلیت ارتعاش طولی دارد. بعلاوه، ارتباط داخلی بین استرینهای طولی و خمشی سبب می گردد که ایجاد یکی از آنها سبب تولید دیگری گردد. مثلا اگر میله دراز و نانکی را در مرکز خود روی پایه ای استوار کرده و به وسیله چکش ضربه ای به یکی از دو سر آن در امتداد محور وارد سازیم، اندك انحراف نقطه برخورد چکش نسبت به محور که معمولا در عمل وجود دارد سبب عدم تقارن ارتعاشی نقاط گوناگون می گردد و در آن ارتعاشهای عرضی ایجاد می کند و بر خلاف انتظار ارتعاش طولی آن کمتر است.

همچنین تفاوت مشخص بين ارتعاشهای عرضی میله و تار وجود ندارد. در فصل گذشته در بحث مربوط به تار، آن را کاملا قابل انعطاف در نظر گرفتیم چنانکه نیروهای برگرداننده در آن تنها به کشش تار بستگی داشته باشد. چنانکه یاد آور شدیم، چنین شرطی هیچ گاه در عمل کاملا برقرار نیست، ولی در تار نیروهای برگرداننده بیشتر تحت تأثیر کشش پدیدار می شوند و سختی سیم در آن کمتر تأثیر دارد. از طرف دیگر، اگر دوسر میله نازك درازی را مانند تار در دو پایه استوار کنیم، نیروهای برگرداننده تحت تأثیر هر دو یعنی کشش و سختی عمل می کنند. این مسئله که کدام یک از این دو در ایجاد نیروی برگرداننده بیشتر مؤثرند بستگی به خصوصیات و شرایط فیزیکی میله دارد. در فصل پیش بك حد نهایی، یعنی تأثیر تنهای کشش را مورد بحث قرار دادیم. اینك حد نهایی دیگر یعنی تأثیر تنهای سختی را بدون کشش طولی مطالعه می کنیم .

استرینهای خمشی در میله يكنواخت

. میله مستقیمی به طول  و به مقطع ثابت S در نظر میگیریم که نسبت به صفحه قائمی که از محور میله می گذرد قرينه باشد. x معرف اوضاع نقاط میله و y نماینده تغیر مکانهای عرضی آن نقاط نسبت به اوضاع تعادل فرض می شود. هنگامی که میله را اندکی خم کنیم (شکل 3.5 ) قسمت پایین آن متراکم و قسمت بالای آن منبسط می شود. بین قسمت بالا و پایین قسمتی وجود دارد که طول آن تغییر نمی کند، از این رو آن را محور خنثا می نامند. اگر مقطع میله نسبت به صفحه ای افقی قرینه باشد، این محور خنثا بر محور مرکزی میله منطبق خواهد بود.

اينك قطعه ای از میله به طول dx را در امتداد محور خنثا اختیار می کنیم، و میزان خمیدگی میله را در آن با R شعاع خمش محور خنثا مشخص می سازیم. فرض می کنیم که درازای رشته ای از میله که به فاصله از محور خنثا قرار دارد، بر اثر خمش، به اندازه  افزایش یابد. پس، نیروی طولی dF با رابطه زیر داده می شود

که در آن  سطح مقطع رشته است. مقدار ده برای رشته شکل 3.5 مثبت است؛ بنابراین dF منفی و معرفی نیروی کشش است. برای رشته های پایین محور خنثا،  منفی است، که در نتیجه dF مثبت و نماینده نیروی تراکم است. از طرف دیگر، می توان نوشت

و از آنجا

با قرار دادن این رابطه در معادلة 3.27 ،dF به دست می آید

برآیند نیروهای طولی وارد به رشته ها در امتداد x ، یعنی  ، برا بر صفر است. زیرا نیروهای کشش منفی وارد به سطوح رشته های رویی محور خنثا با نیروهای تراکم مثبت وارد به سطوح رشته های زیری محور خنثا با هم مساوی و مخالف وجمعشان صفر است. ولی چون نقطه اثر آنها به فاصله های مختلف قرار دارد، گشتاور خمشی M در میله پدیدار می سازند، که بدین مقدار است

و چون ثابتی ما نند K، معرف شعاع ژوراسیون مقطع S، با رابطه زیر در نظر گیریم

گشتاور خمشی میله به این معادله خلاصه می شود

مقدار K برای میله ای به مقطع دایره به شعاع a برابر ، و برای میله ای به مقطع مستطيل به ضخامت t در امتداد y، برابر  است.

خمیدگی R معمولا ثابت نیست، بلکه تابع موضع در طول محور خنثاست. عبارت تحلیلی عمومی برای شعاع خمیدگی يك خط به صورت زیر است

 

اگر تغییر مکان y در نقاط میله، محدود به مقادیر کو چك باشد، شیب میله در هر نقطه در مقابل واحد بسیار کوچک است، یعنی   و می توان نوشت

اگر این مقدار R را در معادله 3.29  بگذاریم، مقدار گشتاور وارد به میله به عبارت زیر خلاصه می شود

در شکل 3.5 ، خمیدگی میله چنان است که  منفی و در نتیجه گشتاور M مثبت است. برای به دست آوردن آن وضع خمش که در شکل بالا نموده شده، باید در انتهای سمت چپ dx ، گشتاوری به مقدار M در جهت خلاف گردش عقربه های ساعت، یعنی در جهت مثبت سنجش زاویه های مثلثاتی تأثیر کند. در صورتیکه در انتهای سمت راست گشتاور در جهت گردش عقربه های ساعت و به مقدار M – لازم است. همچنانکه در مورد ارتعاش طولی میله دیدیم (معادله 3.5 )، نیروی مثبتی برابر    به انتهای سمت چپ و نیروی مخالفی برابر  به سمت راست وارد می گردد. اگر در شکل 3.5 خمیدگی میله معکوس گردد، جهت هر دو گشتاور عوض می شود.

معادله موج عرضی.

تغییر شکل میله در اثر گشتاورهای خمشی در دو انتهای میله، سبب ایجاد نیروهای برشی نیز می گردد. هرگاه نیروی برشی بر   وارد به سمت چپ میله را مثبت فرض کنیم، نیروی برشی وارد به انتهای سمت راست منفی خواهد بود (شکل 3.6) و این دو نیرو گشتاوری در جهت مخالف گشتاورهای خمشی وارد می سازند. هنگامی که میله خم شده ای در حال تعادل باشد گشتاورهای خمشی و گشتاورهای واکنشی یکدیگر را خنثا می کنند. این شرط تعادل در شكل 3.6 با معادله زیر برقرار می شود

برای قطعات کوچك dx می توان نوشت

شکل  3.6 . گشتاورهای خمشی و نیروهای برشی در میله.

اگر عبارت بالا را در معادله 32 . د بگذاریم، بدین صورت در می آید

که اگر از عبارت بینهایت کوچک درجه دوم شامل 2  چشم پوشی کنیم می توان نوشت

رابطه فوق بین نیروی برشی   و گشتاور خمشی از شرط تعادل استاتيك میله به دست آمده است. در ارتعاش عرضی میله، تعادل ديناميك است و در حقیقت سمت راست معادله 3.32. به جای اینکه صفر باشد برابر افزایش گشتاور زاویه ای قطعه dx خواهد بود. ولی چنانچه تغییر شکل میله و تغییر مکان نقاط آن اندك باشد، تغییرات گشتاور زاویه ای را در آن می توان چشم پوشی کرد، و معادله 3.33 تقریب جایزی برای رابطه میان  و  در خواهد بود.

تغییر نیروی  بين دو سر قطعه dx بدین مقدار است

این نیرو سبب ایجاد شتاب عرضي  در قطعه dx به جرم   می گردد. معادله حرکت چنين است

که به صورت زیر خلاصه می شود

که در آن چنانکه در موج طولی اشاره شد

تفاوت آشکار معادله دیفرانسیل بالا با معادله موجهای عرضی در تارهای مرتعش وجود مشتق چهارم y   نسبت به x در آن است، و حل آن به صورت   نیست. نتیجه آنکه موجهای عرضی در میله با سرعت ثابت و شکل ثابت، در میله انتشار نمی یابند.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت