مبانی آکوستیک

اصول ارتعاش

بخش سوم

مشخصات فیزیکی حرکت هارمونيك ساده.

ازمشتق اول x به بر حسب زمان در معادله 6-1 سرعت v و از مشتق ثانی آن شتاب a به دست می آید

و

از مقایسه معادله های بالا با معادله مسافت (1.6) روشن می شود که مسافت به میزان  رادیان از سرعت و به میزان رادیان از شتاب عقب است، چنانکه در شکل 1.2 دیده می شود.

شکل 1.2 سرعت را همیشه از تغییر مکان x به اندازه جلوتر است. شتاب a و تغییر مکان x همیشه به اندازه ی با یکدیگر اختلاف فاز دارند. منحنی های بالا برای ، رسم شده اند.

اگر صورت مختلط معادله ای را که نماینده این نوع حرکت است در نظر بگیریم باز به همین نتایج می رسیم. معرف برداری است به طول واحدکه با فرکانس زاویه ای و در جهت مثلثاتی می چرخد. (شکل 1.3). همچنین هر کمیت مختلط A، با مؤلفه های  a و از، را می توان با بردار نشان داد، که طول آن برابر است و زاویه فاز آن با محور حقیقی است ( ) به آسانی می توان نشان داد که حاصل ضرب هردو کمیت مختلط برابر برداری است که طول آن از ضرب طولهای دو بردار معرف آندو و فاز آن از جمع فاز آن دو بردار به دست می آید. بنابراین معادله  را می توان به صورت نشان داد، که مقدار حقیقی آن است.

اگر معادلة مختلط مسافت را به صورت

نمایش دهیم مشتق آن نسبت به زمان صورت مختلط سرعت را به صورت  به دست می دهد که در آن عدد انگاری j می رساند که سرعت به اندازه j ، یعنی ، از مسافت جلوتر است. تصویر این سرعت بر محور حقیقی نماینده سرعت لحظه ای v با دامنه است.

همچنین مشتق ثانی معادل مسافت صورت مختلط شتاب را به دست می دهد، و از آن معلوم می شود که شتاب به اندازه نسبت به مسافت تأخير فاز دارد.

 انرژی ارتعاش.

انرژی جرمی که با حرکت هارمونيك ساده با دامنه A و فرکانس زاویه ای نوسان می کند مجموع ، انرژی پتانسیل، و انرژی جنبشی آن است. انرژی پتانسیل مقدار کاری است که جرم هنگام تغییر مکان از حال تعادل، برای تغيير طول فنر انجام می دهد. نیرویی که به وسیله جرم بر فنر وارد می شود است و انرژی پتانسیل دستگاه به این طریق محاسبه می گردد

این انرژی در دستگاه MKS با ژول اندازه گیری می شود. را می توان با قراردادن مقدار x از 6-1 در 1.9 به صورت دیگری نوشت

انرژی جنبشی دستگاه است، که با استفاده از معادله سرعت به صورت زیر در می آید:

پس، انرژی کلی دستگاه در تمام لحظات برابر است با

 یعنی

خواهد بود.

چنانکه ملاحظه می شود، چون A ثابت است انرژی کل دستگاه ثابت می ماند. چون فرض ما این بود که دستگاه انرژی تلف نمی کند، یعنی اصطکاکی در میان نیست، این انتظار را هم داشتیم. از معادله 1.11 چنین بر می آید که مقدار کل انرژی برابر انرژی پتانسیل جرم است هنگامی که به ماکسیمم مسافت می رسد ( )، یا برابر انرژی جنبشی جرم است هنگامی که دارای سرعت ماکسیمم می شود( )همچنین روشن است که انرژی دستگاه بستگی به فرکانس و دامنه دارد. این ارتباط در بیشتر پدیده های آکوستیکی ظاهر میشود بویژه در مورد منابع تولید صوت و موج های صوتی. مثلا يك منبع صوتی با فرکانس زیاد را می توان با جزئی دامنه دارای انرژی قابل ملاحظه کرد، در صورتی که در فرکانس های پایین باید دامنه زیاد باشد.

تأثیر دخالت جرم فنر.

در بحث معادله های نوسانگر ساده، ازجرم فنر در محاسبه چشم پوشی کردیم. حال اگر جرم فنر در برابر جرم 272 متصل به فنر قابل چشم پوشی نباشد می توان پیشبینی کرد که بر اثر ازدیاد اینرسی دستگاه ، فرکانس آن کاهش می یابد. این فرض می کنیم که طول فنر ، و سرعت قطعه بینهایت كوچك dy از آن، به جرم ، متناسب با فاصله آن قطعه از آویز گاه باشد (شکل 1.4). اگر سرعت نقطه انتهای آزاد فنر v گرفته شود ، سرعت قطعه dy فنر برابر می شود. پس، انرژی جنبشی تمام فنر بدین طریق به دست می آید

بنابراین انرژی جنبشی کل دستگاه به این صورت است:

اگر  s، ثابت سختی فنر، در وضع قائم فنر اندازه گیری شده باشد، انرژی پتانسیل همان مقدار محاسبه شده در فرض بی جرمی فنر، یعنی است.)

چون دستگاه انرژی تلف نمی کند، جمع كل انرژی پتانسیل و انرژی جنبشی دستگاه ثابت است

چون v را برابر  قرار دهیم، و از معادله فوق نسبت به زمان مشتق بگیریم، معادله حرکت  جرم به دست می آید:

و چون آن را با معادله حرکت نوسانگر (1.3) مقایسه کنیم، مشخص می شود

چنانکه ملاحظه می شود، هنگامی که جرم فنر قابل چشم پوشی نباشد در محاسبه فرکانس نوسانگر ساده باید يك سوم جرم فنر به جرم اصلی اضافه شود. این مثال نشان میدهد که چگونه دستگاه ارتعاشی نسبتا پیچیده ای که جرم و تغییر حرکت در طول آن توزیع شده است می تواند در تقريب اول با نوسانگر ساده معادلی نشان داده شود.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت