مبانی آکوستیک

اصول ارتعاش

بخش دوم

انتخاب واحدها

پیش از ادامه بحث در باره ارتعاش لازم است تصمیمی در انتخاب دستگاه فیزیکی واحدها در معادله ها اتخاذ کنیم. یاد آوری می کنیم که آكوستيك چنان تحولی وسیع یافته و رشته های علمی و فنی گوناگون را در بر گرفته که انتخاب دستگاه معینی در آن مشکل به نظر می رسد، چه هر مؤلف دستگاهی انتخاب کرده که بیشتر به رشته تخصصی خود مربوط است. از نظر تاریخی، در کارهای مقدماتی و بنیادی آكوستيك دستگاه CGS مورد استعمال بوده است. بسیاری از مهندسان دستگاهی مخلوط از دستگاه متری و دستگاه انگلیسی به کار برده اند. در بیشتر کارهای اخیر مربوط به الكترو آکوستيك و آکوستيك داخل آب دستگاه MKS به کار رفته است. متأسفانه این اختلافات هنوز باقی است و حتی در بیشتر نشریه های اخیر استانده های آمریکا در نامگذاری اصطلاحات توافق حاصل نشده است.

با این حال مسلم است که انتخاب دستگاه MKS علمی سودهایی در بر دارد. معادله ها را ساده تر می سازد، بویژه هنگامی که مدارهای الکتریکی معادل برای تجزیه و تحلیل دستگاههای الكترومكانيك و الكترو آکوستيك به كار برده شوند. .

از این رو، همه معادله های این کتاب در اصل برای واحدهای دستگاه MIKS به دست آمده اند. امید است که به کار بردن پیوسته دستگاه MKS در سراسر این کتاب، برتریهای آن را آشکار تر سازد، و به خواننده آن توانایی را بدهد که از مزیتهای آن به بهترین نحو استفاده کند. به کسانی که میل دارند دستگاه CGS را به کار ببرند باید گفت که همه معادله های اساسی این کتاب، بجز معادله های فصل های 10 تا 12، را به همان آسانی می توان با دستگاه CGS به کار برد. وسر انجام در ضمیمه کتاب جدولی برای تبدیل واحدهای CGS و MKS به یکدیگر داده شده است تا خواننده بتواند به یاری آن واحدهای CGS را به MKS تبدیل کند.

به معادله  1.5  باز می گردیم. اگر از دستگاه MKS استفاده کنیم، فرکانس    برحسب سیکل بر ثانیه به دست می آید؛ و این در حالی است که واحد پایای سختی S نیوتن بر متر، و جرم بر حسب کیلو گرم باشد. اگر دستگاه CGS را به کار ببریم، S بر حسب دین بر سانتیمتر و  mبر حسب گرم خواهد بود.

شرايط ابتدایی

ییپایاهای    و  در معادله های 1.4 بستگی به چگونگی آغاز حرکت دارند که با شرایط ابتدایی معرفی می شوند. اگر در لحظه  مسافت ابتدایی   و سرعت ابتدایی    باشد پایاهای   و   بر حسب آنها مشخص و محاسبه می شوند، و حرکت کاملا مشخص می گردد. اگر در معادله ی ( ) ، t را برابر صفر و x را برابر  قرار دهیم،   برابر   می شود و اگر در معادله مشتق آن، زمان t را برابر صفر و   را برابر     قرار دهیم:

برابر   می شود، پس   ، و معادله ی ( ) به صورت زیر در می آید

معادله   را می توان به صورت دیگری در آورد. دو ثابت A و    را چنان اختیار می کنیم که رابطه های    و  بر قرار باشند. اگر این مقدیر را در معادله (  )قرار دهیم پس از اختصار چنین می شود

که در آن A دامنه حرکت و    فاز ابتدایی است و مقادیر آنها بر حسب  و  شرایط ابتدایی چنین اند

روش حل اکسپو نانسيل مختلط.

روش دیگر حل معادله دیفرانسیل اصلی (1.3) این است که فرض کنیم جواب آن چنين باشد

و   را چنان قرار دهیم که مقدار x در معادله 1.3 صدق کند. اگر از x  مشتق ثانی بگیریم و در معادله قرار دهیم   برابر   می شود و  بر حسب    به صورت   نوشته می شود که در آن  است. اگر دو مقدار     و  را در معادله قرار دهیم برای x دو حل زیر به دست می آیند، که عبارتند از     و  پس حل کلی اكسپو نانسیلx چنین است

که در آن  و    را باید از شرایط ابتدایی به دست آورد. اگر روابط بين مقادير اكسپو نانسیل و مثلثاتی زیر را در نظر بگیریم

معادله (1.7) به این صورت در می آید

به ملاحظات فیزیکی چون تغيير مكان x کمیتی است حقیقی ( بدون ز)، بنابراین اگر مقادیر  و حقیقی باشند این شرایط هنگامی صادق است که  برابر  گردد تا ( ) صفر و جمله انگاری x از میان برود. ولی در این صورت  ( ) برابر  و معادله  x منحصر به يك جمله می گردد، و حل کلی به شمار نمی رود. برای به دست آوردن حل کلی مقادیر   و  را به صورت انگاری) زیر فرض می کنیم

که در آنها  و    و   و   حقیقی هستند. با این مقادیر  و  ، معادله ی 7-1 به صورت  زیر در می آید

شرط حقیقی بودن x آن است که ضرایب عبارت های مثلثاتی در جمله انگاری صفر باشند یعنی  و 0= b+ b و   یا  . در این شرایط، دو پایای انگاری  و  و مزدوج هستند، و معادله ( ) به صورت حقیقی زیر در می آید

که همان معادله   است. یاد آوری می کنیم که در عمل یافتن شرط ریاضی لازم برای اینکه x در معادله ی حقیقی باشد ضرورت ندارد، چه می توان قرارداد کرد که در حل معادله های مختلط همیشه قسمت حقیقی حل مختلط خود حل کلی به شمار می رود. چنانکه در معادله قسمت حقیقی دارای دو جمله کسینوس و سینوس است که حل کلی به شمار می روند. همین طور هر يك از قسمتهای حقیقی  یا  نیز خود حل کلی محسوب می شود.

در این کتاب روش اکسپو نانسیل مختلط در تجزیه و تحلیل مسائل به کار رفته است. برتری عمده این روش بر روش مثلثاتی، سادگی آن از نظر محاسبات ریاضی و بویژه آسانی نسبی آن در تعيين روابط فاز بين متغیرهای مکانیکی و آکوستیکی است. بعلاوه، بسیاری از مسائلی که در آکوستيك به آن بر می خوریم شباهت تام به مسائل الکتریکی جریان متناوب دارند، چنانکه بسیاری از مسائل نظری و عملی حاصل از نظریه های الکتریکی را می توان با حل مسائل آکوستیکی به کار برد. بدینجهت تا حد امکان علامات به کار رفته در این کتاب چنان انتخاب شده اند که این شباهت را برسانند. از طرف دیگر عیب عمده روش اکسپو نانسیل مختلط این است که حلهای به دست آمده مقادیر حقیقی متغیرهای مختلف آکوستیکی را معرفی نمی کنند، و باید دقت کرد قسمتهای حقیقی حل مختلط چنان تعيين شوند که با معادله های صحیح فیزیکی تطبیق کنند. و بعلاوه اشتباهاتی ناشی از عملیات حساب رخ ندهند. بویژه در محاسبه انرژی که مجذور تابع سرعت با تغییر مکان مورد پیدا می کند، باید در نظر داشت که قسمتهای حقیقی مجذور تابع مختلط برابر مجذور قسمتهای حقیقی آن نیست و در این مورد مجذور قسمتهای حقیقی سرعت یا مسافت باید در محاسبه وارد شود.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت