مبانی آکوستیک

ارتعاش صدا

بخش چهارم

ترکیب خطی ارتعاش های هارمونيك ساده.

در بسیاری از پدیده های آکوستیکی حرکت جسم مرتعش ترکیبی خطی از دو یا چند ارتعاش هارمونيك ساده است و هر يك جداگانه در آن تأثیر می کند. در این حال، مسافت پیموده توسط جسم متحرك مجموع جبری مسافت های طی شده توسط حرکات ابتدایی هر يك از آنهاست.

یکی از مثالهای مهم این حالت، ترکیب دوحرکت است که فرکانس زاویه ای هر دو ،  ولی فازهایشان گوناگون است. معادله های این دو حرکت عبارتند از

ترکیب خطی این دو حرکت در روی محور مدها چنين است:   حال با استفاده از روابط مثلثاتی می توان این جمع را بشکل ساده تر

در آورد، که در آن

چنانکه ملاحظه می شود، حاصل ترکیب دو حرکت نوسانی هارمونيك ساده که فرکانس آنها یکسان است، حرکت هارمونيك ساده ای است با همان فرکانس، ولی با دامنه جدید A وفاز جدید  . اگر دو حرکت ابتدایی به يك فاز باشند، یعنی  ، از رابطه های بالا نتیجه می شود که   و  . این نتیجه را قبلا به یاری اصول اساسی فيزيك می شد پیشبینی کرد. به طور کلی، ارتعاش حاصل از ترکیب خطی دو ارتعاش همفرکانس، ارتعاشی است با همان فرکانس که زاویه فاز آن  متفاوت از فاز هر يك از دو حرکت ابتدایی است، و دامنه اش، A، بین دو مقدار مطلق چنین قرار گرفته است

ممکن است دو یا چند حرکت هارمونيك ساده همفرکانس را با ترسیم ترکیب کرد. برای این کار از مختصات قطبی استفاده می شود. شعاع های حامل   و   و … و  دامنه های حرکتهای ابتدایی را نشان میدهند؛ و فازها،   و   و … و  ، با زاویه های قطبی نموده می شوند. دامنه ها و فازهای حرکات ابتدایی را باید به روش هندسی جمع کرد تا برآیند آنها، A، معرف دامنه حرکت ترکیبی، و زاویه قطبی آن، ، نماینده فاز این برآیند به دست آیند. شکل  1.5  ترکیب دو حرکت هارمونيك ساده را با این روش نشان میدهد. اگر بردارهای معرف دامنه ها را بر محور مختصات قطبی و محور عمود بر آن تصویر کنیم A و ، دامنه و فاز حرکت بر آیند، بر حسب دامنه ها و فازهای حرکات ابتدایی از رابطه های زیر به دست می آیند. .

بنابراین بر آیند چند حرکت هارمونیك ساده همفرکانس حرکت هارمونيك ساده ای است با همان فرکانس و با دامنه و فاز معين. ياد آوری می کنیم که با معلوم بودن بر آیند چند حرکت هارمونيك ساده نمی توان آن را به حرکات ابتدایی خود تجزیه کرد.

مشاهدات فیزیکی نیز این مسئله را تایید می کنند. هنگامی که دو یا چند موج صوتی همفرکانس در نقطه ای از فضا جمع می شوند، نمی توان هر يك از آنها را به تنهایی  تشخیص داد، مگر از حيث بلندي صوت يا  خصوصیات جهتی آنها. تجزیه و تحلیل این مسئله نشان میدهد که هر گاه دو صوت از دو منبع همفرکانس منتشر شوند در بعضی نقاط یکدیگر را تضعیف و در برخی نقاط تقویت می کنند. در نقاطی که یکدیگر را تضعیف می۔ کنند دارای فازهای مخالف و در نقاطی که یکدیگر را تقویت می کنند دارای فازهای موافق هستند .

شکل 5-1 ترکیب دو بردار مختلط  متعلق به دو حرکت هارمونیک ساده که دارای کی فرکانس هستند.

ترکیب خطی ارتعاش های با فرکانس های متفاوت

از ترکیب خطی دو ارتعاش که  فرکانس های متفاوت   و  و فازهای متفاوت  و   دارند ارتعاشی با این معادله به  دست می آید

به طور کلی بر آیند  دو ارتعاش با فرکانس های مختلف، هارمونيك ساده نیست یعنی نمی توان آنها را به صورت سینوس یا کسینوس تنها با مجموع یا تفاضل آنها نمایش داد. اگر  و  متوافق باشند، یعنی اگر نسبت  به  عدد گویا باشد، حرکت بر آیند تناوبی است، و فرکانس آن بزرگترین مقسوم علیه مشترك  است، و پریودش کوچکترین مضرب مشترك   و   خواهد بود. اگر  و  متوافق نباشند بر آیند آنها نه حرکت هارمونيك ساده و نه حرکت تناوبی است، بلکه نوسان پیچیده ای است که هرگز به يك وضع تکرار نمیشود.

ترکیب دو حرکت با فرکانس های مختلف بر عکس ترکیب دو نوسان همفرکانس برگشت پذیر است؛ یعنی، برآیند آنها قابل تجزیه به حرکات ساده ابتدایی است. نمایش فیزیکی این خاصیت در انواع ابزارهای تجزیه صوت نمودار است. یاد آور می شویم که فرکانس تناوب حرکت برآیند هیچ گونه ارتباطی با جمع و تفریق فرکانس های ابتدایی ندارد، چنانکه در شکل 1.6 مشهود است.

ترکیب خطی سه یا چند ارتعاش که فرکانس های متفاوت دارند نیز به همین نحو است، و می توان آنها را دو به دو ترکیب کرد. این روش ترکیب تأثيرات جداگانه ارتعاشها به وسیله ترکیب خطی مقادیر آنها، یکی از خصوصیات بسیاری از نوسانهایی است که در آکوستيك به آنها بر می خوريم. به طور کلی ثابت شده است که حضور يك ارتعاش اختلالی

شکل 6-1 ترکیب خطی دو ارتعاش هارمونيك ساده با فرکانس های مختلف. منحنی های بالا برای   و  و  رسم شده اند

در ارتعاش های دیگر موجود در فضا یا جسم ایجاد نمی کند. بنا بر این، خاصیت ارتعاش برآیند از جمع يك يك ارتعاش های داده شده به جسم به دست می آید.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت