مبانی آکوستیک

ارتعاش صدا

بخش پنجم

زنش.

ترکیب خطی دو ارتعاش هارمو نيك ساده که فرکانسشان نزديك هم باشد پدیده ای به نام زنش  (ضربان) ایجاد می کند. اگر در معادله 1.15  مبدأ زمان را چنان  اختیار کنیم که   در لحظه برابر صفر باشد، و نیز اگر   را برابر  در نظر بگیریم، معادله برآیند دو ارتعاش به این صورت نوشته می شود . .

به كمك روش عادی مثلثاتی این معادله را می توان به صورت زیر نوشت

که در آن

و

چنانکه ملاحظه می شود، نتیجه دو ارتعاش به صورت ارتعاش هارمونيك ساده ای با فرکانس  خودنمایی می کند، که دامنه و فاز آن، بر حسب زمان، با فرکانس ملایمی برابر   تغییر می کند. . از معادله

پیداست که دامنه ارتعاش بر آینده بین دو حد  و   با فرکانس   زیاد و کم می شود. در مورد ارتعاش های آکوستیکی یعنی دو تن خالص که فرکانس های نزديك به هم دارند، حاصل این تغییر دامنه صوتی است با فرکانس کمتر که دامنه و در نتیجه بلندی آن به نسبت تفاضل دو فرکانس ابتدایی (  ) زیاد و کم میشود؛ این پدیده را زنش می نامند. تأثير تغيير زاوية فاز سبب می شود که فرکانس کاملا ثابت نماند، و متوسط تغييرات آن مقداری بین  و  است که بستگی به مقدار نسبی   و  دارد.

در مورد خاصی که در دامنه برابر باشند اگر مبدأ زمان را لحظه ای اختیار کنیم که دو فاز   و  برابر صفر باشند معادله دامنه به این صورت خلاصه می شود

در این حال، دامنه حرکت بر آیند A، بین دو مقدار  و   تغییر می کند، و پدیده زنش نمایانتر می گردد. زاویه ی فاز حرکت بر آیند با معادله پایین داده میشود.

می توان نشان داد که این تغییر فاز بر حسب زمان معادل مقدار نموی است که در معادله ( 1.16) به فرکانس   افزوده می شود، و نوسان ها را از حال  جیبی خارج می سازد.

همچنین می توان روشن کرد که در این حالت متوسط مقدار فرکانس برابر  یعنی میانگین عددی دو فرکانس  و  است.

زنش هنگامی شنیده می شود که دو فرکانس ابتدایی در ردیف فرکانس های صوتی باشند. اگر تفاوت دو فرکانس کم باشد (در حدود 10 سیکل بر ثانیه یا کمتر) صوت حاصل از ترکیب آن دو با فرکانسی برابر با این تفاوت شدید و ضعیف می شود. اگر تفاوت دو فرکانس در حدود 200 سیکل بر ثانیه یا بیشتر باشد، از ترکیب دو فرکانس ابتدایی صوتی با فرکانس تفاضل آنها شنیده می شود. اگر این تفاوت فرکانسها در حدودی بین 10 و 200 باشد از حاصل آنها صوت خشن و ناموزونی شنیده می شود. در بخش 13.9 مربوط به شنوایی  در باره زنش بحث بیشتری خواهد شد.

تجزيه ارتعاش مرکب به یاری قضية فورية.

چنانکه شرح آن گذشت، حاصل ترکیب دو یا چند ارتعاش ساده که فرکانس های آنها متوافق باشند، ارتعاشی است با فرکانس بزرگترین مقسوم علیه مشترك آنها. بر عکس، بنا بر قضية مهمی به نام قضية فوریه ، می توان ارتعاش تناوبی مرکب را به عوامل ابتدایی آن تجزیه کرد. و بنا بر قضية فوریه، هر تابع متناوب يك مقداری و پیوسته را می توان مجموع تعداد محدود یا نامحدودی از توابع ساده ای پنداشت که فرکانس های آنها مضاربی از فرکانس اصلی باشند. این قضیه در آکوستيک کاربرد فراوان دارد و بویژه در تجزیه ارتعاش های اجسام به کار می رود.

هرگاه ارتعاش پیچیده متناوبی با پریود T با تابع   معرفی شده باشد، بنا  بر قضية فوریه می توان آن را به این صورت تجزیه کرد.

که در آن   و A و B پایاهایی هستند که باید تعیین شوند. و

بنا بر چگونگی بسط تابع  ،  بعضی جمله ها در سری بالا ممکن است صفر باشند . اگر  نسبت به  قرینه باشد، و   در آن صفر است. اگر تابع زوج باشد، یعنی  ، جمله های سینوسی وجود ندارند. اگر تابع فرد باشد، یعنی  ، جمله های کسینوسی وجود ندارند. حضور یا غیبت جمله ها با تعيين  پایاهای  و و  مشخص می شوند.

فرمولهای زیر، که با روشهای کلاسيك ریاضی به دست می آیند، برای تعیین و و   به کار می روند

حل انتگرالهای فوق بستگی به چگونگی   دارد. هر گاه این تابع خود مجموع تعداد معینی از ارتعاش های ساده باشد، بسط آن نیز دارای تعداد معینی از جمله های تناوبی خواهد بود. مثلاً ، تابع معرف پديده زنش به دو ارتعاش تجزیه میشود. همچنین اگر   حاصل ترکیب سه ارتعاش باشد بسط آن دارای سه جمله تناوبی می گردد. در صورتی که اگر شیب منحنی   دارای تغییرات ناگهانی باشد، مانند موجهای مربعی یا دندان اره ای، بسط  دارای بینهایت جمله خواهد بود. از طرف دیگر می توان ثابت کرد که سری حاصل از بسط فوریه همگراست، یعنی هر چه فرکانس بالا می رود و کوچکتر می شوند. در موجهای مربع شکل و دندان اره ای، هر چه شماره جمله ها را بیشتر بگیریم شکل منحنی نمایش آن به موج اصلی نزدیکتر می شود. خوشبختانه ارتعاش هایی که در آکوستيك به آنها بر می خوریم دارای همگرایی سریعند، و با در نظر گرفتن چند جمله به وضع حقیقی آنها نزدیک می شویم. عامل دیگری که سبب می شود جمله های معدودی از بسط توابع ارتعاشی برای دریافت تأثير حقیقی آنها کافی باشد خاصیت ذاتی گوش است که با حذف فرکانس های بالا تغيير قابل ملاحظه ای در احساس زنگ صدا در آن رخ نمیدهد.

به عنوان مثال، بسط فوریه را در تجزیه ارتعاش دندان اره اي شكل 1.7  به معادله

 به کار می بریم. چون   را در معادله های  و  و  قرار دهیم، و انتگرال های آنها را بين   و  حساب کنیم، مقادیر و  و چنين به دست می آیند:

چنانکه ملاحظه می شود،  برابر صفر است، زیرا منحنی نمایش  نسبت به محور  xقرينه است.

شکل 7-1 نمایش سری فوریه يك ارتعاش دندان اره ای

تمام جمله های برابر صفرند، زیرا تابع فرد است. اگر منحنی نمایش تابع را به سوی t منفی ادامه دهیم تساوی   مسلم می شود.

با توضیحات فوق، تابع متناوب دندان اره ای به این صورت بسط می یابد :

اگر فقط سه جمله اول از بسط فوق را در نظر بگیریم، منحنی نمایش آن شکل  را خواهد داشت. چنانکه دیده می شود، منحنی در اطراف خط اصلی، که با خط چین نمایش داده شده است، حرکت می کند، و اختلاف آن با منحنی اصلی،   (شکل )  به خوبی پدیدار است. اگر بخواهیم منحنی نمایش بسط فوق بیش از 5 درصد با نمایش اصلی تابع  اختلاف نداشته باشد باید دست کم 20 جمله اول آن را در محاسبه منظور کنیم.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت