مبانی آکوستیک

ارتعاش صدا

بخش ششم

نوسان های میرا

هنگام نوسان جسم نیروهایی به نام نیروهای اصطکاکی یا تلف کننده ظاهر می شوند ، که بنا بر چگونگی دستگاه نوسانی انواع مختلف دارند؛ و اثر آنها همیشه میرا کردن نوسان است. یعنی، کاهش مداومی نسبت به زمان، در دامنه آن ايجاد می کنند. نخست نوعی از نیروهای اصطکاکی را که در اثر چسبندگی محیط نوسان ایجاد می شود در نظر میگیریم، و انواع دیگر آن را از طریق مشابهت بررسی می کنیم.

نیروی اصطکاك در مسائل ارتعاشی نقش عمده دارد. در پخش موجهای صوتی نیروی چسبندگی محیط به صورت نیروی مقاوم حرکت ایجاد می شود؛ مقدار آن به سرعت بستگی دارد، و در بسیاری از موارد با آن متناسب و مخالف است. این نیرو را با رابطه زیر می توان نمایش داد :

 

که در آن Rm پایای مثبتی است و مقاومت مکانیکی دستگاه نامیده می شود. از معادله 1.19 روشن است که مقاومت مکانیکی دستگاه با واحدی برابر نیوتون بر ثانیه / متر یا معادل آن كیلوگرم بر ثانیه اندازه گیری می شود.

اگر مقاومت مکانیکی را در حرکت نوسانگرساده منظور کنیم، معادله حرکت آن به این صورت نوشته می شود:

 

یاد آوری می کنیم که معادله نوسان بار الکتریکی q در يك مدار سری که شامل مقاومت،  قرقره خودالقا، وخازن است به صورت معادله 1.20  است. ضریب خودا لقای مدار الکتریکی معادل جرم m است در مدار مکانیکی نوسانگر؛ مقاومت مدار الکتریکی معادل مقاومت مکانیکی نوسانگر، Rm؛ و ظرفیت خازن معادل نرمش مکانیکی  Cm یا عکس پایای سختی نوسان کننده است ()

برای حل معادله  1.20، آن را به صورت مختلط اكسپو نانسیل می نویسیم :

و در معادله  1.20 قرار می دهیم، رابطه زیر به دست می آید، که باید به ازای تمام مقادیر t  صادق باشد:

و این شرط هنگامی بر قرار است که

یا

که در آن

که در آن  و بنا بر تعریفی که از آن کرده ایم بجای   گذارده شده است. در  ارتعاش های مهم آکوستیکی مقدار چنان است که پیوسته است و  انگاری  است و در نتیجه  نیز انگاری است. پس بهتر است  را چنین بنویسیم

که در آن  و فرکانس زاویه ای ارتعاش هنگام میرایی است. گوشزد می کنیم که در مواردی که مقاومت مکانیکی دستگاه اندك باشد  بسیار نزديك ، فرکانس آزاد دستگاه و جزئی از آن کمتر است و در محاسبه می توان برابر در نظر گرفت.

حل کلی یا عمومی معادله 1.20 مجموع دو حل اختصاصی ( با دو جواب   در 1.21)

بدین صورت است

مانند موردی که نیروی تلف کننده وارد نمی شود، پایاهای  و معمولا مختلط اند، و در نتیجه X نیز مختلط است، و بنا بر قراردادی که در بند 1.5 گرفته می شود

که در آن A و  پایاهای حقیقی هستند و با شرایط ابتدائی معلوم می شوند. دامنه حرکت ارتعاشی فوق، یعنی Aeat ، دیگر پایا نیست، و نسبت به زمان به صورت اکسپو نانسیل کاهش می یابد. چنانکه در نوسان ناميرا نیز دیدیم، فرکانس به دامنه نوسان بستگی ندارد، ولی در اینجا مقدار آن از فرکانس نوسان نامیرا کمتر است.

يك وسیله برای تشخیص سرعت کاهش دامنه، زمانی است که در مدت آن دامنه به   مقدار ابتدائی خود می رسد. این زمان را مدول تباهی می نامند و با حرف   نشان می دهند، که مساوی است با:

هر چه کوچکتر باشد  بزرگتر است، و زمان بیشتری لازم است تا نوسانها به کلی از بین بروند.

هر گاه   زیادتر از حد معمول باشد  حقیقی می شود، و دستگاه دیگر نوسانی نیست. اگر جرم را از وضع تعادل خارج سازند، فقط به وضع اول خود بر می گردد و از آن نمی گذرد. اگر ي صفر باشد بازهم دستگاه نوسانی نخواهد بود و این حالت را میرایی بحرانی می نامند.

نوسان واداشته

در مسائل آکوستيک اغلب نوسانگر ساده یا دستگاه معادل آن با تأثیر نیروی محرك جیبی به نام نیروی راننده به ارتعاش در می آید. چون این نیرو را به صورت   معرفی کنیم معادله حرکت میرای نوسانگر چنین نوشته می شود:

حل این معادله مجموع دو جمله است، یکی جمله ناپایداره که دارای دو پایای اختیاری است و دیگری جمله پایدار که به F بستگی دارد و دارای پایاهای اختیاری نیست. برای به دست آوردن قسمت ناپایدار، F را در معادله   1.23 برابر صفر می گذاریم. معادله ای نظیر معادله 1.20 به دست می آید، که حل آن نظیر معادله 22-1 و a 1.2  می شود. فرکانس ارتعاشی آن همان   فرکانس ارتعاش میر است و پایاهای آن با شرایط ابتدایی تعيين می شوند. بعد از گذشت زمان کافی، مثلا   جمله ميرای   به سوی صفر میل می کند و جمله پایدار باقی می ماند، که فرکانس آن همان   فرکانس نوسانی نیروی راننده است.

برای به دست آوردن جمله پایدار بهتر آن است که به جای مقدار حقیقی نیروی مؤثر  مقدار انگاری آن  به کار ببریم

حل این معادله، x را به صورت انگاری به دست می دهد که مقدار حقیقی آن معرف تغير مكان

اگر حل معادله فوق را به صورت اکسپو نانسیل  بگیریم، و در معادله بالا ببریم این معادله به دست می آید

برای اینکه این معادله برای هر مقدار t صحیح باشد، باید

و مقدار انگاری x به این معادله تبدیل می گردد

پیش از حل و یافتن قسمت حقیقی معادله بالا، امپدانس مکانیکی مختلط دستگاه، Zm، را چنین معرفی می کنیم تا همانندی آن با مدارهای الکتریکی روشنتر گردد. بنا بر تعريف امپدانس مکانیکی مختلط چنین است

که در آن  برابر (  ) و راكتانس مکانیکی دستگاه نام دارد. مقدار امپدانس مکانیکی چنین است:

 و فاز آن ، ، از این رابطه به دست می آید :

امپدانس مکانیکی  کاملا شبیه امپدانس الکتریکی مختلط يك مدار سری است که از مقاومت، قرقره خودا لقا، و خازن تشکیل شده.   معادل است با مقاومت الکتریکی R جرم m معادل است با L اندوکتانس مدار، و سختی مکانیکی و معادل است با عکس ظرفیت خازن. ابعاد امپدانس مکانیکی درست مانند ابعاد مقاومت مکانیکی است و با واحد آن، یعنی کیلو گرم بر ثانیه بیان می شود. این واحد را می توان أهم مکانیکی نامید.

باید به خاطر داشت که گر چه اهم مکانیکی و اهم الکتریکی با هم شباهت دارند، واحدهای اصلی آنها یکی نیستند.

اهم الکتریکی حاصل تقسیم ولتاژ بر شدت جریان است، در صورتی که اهم مکانیکی حاصل تقسيم نیرو بر سرعت است.

با استفاده از تعریف در معادله ی  1.26 معادله 1.25  را به این صورت ساده می توان نوشت

و قسمت حقیقی آن که معرف تغییر مکان است چنین به دست می آید:

در بسیاری از مسائل مکانیکی و آکوستیکی، معلوم بودن معادله سرعت مهمتر از معادله مسافت است. اگر از معادله 1.25 بر حسب زمان مشتق بگیریم، معادله سرعت مختلط به دست می آید

و سرعت واقعی قسمت حقیقی معادله بالاست، یعنی

نسبت   مقدار سرعت ماکسیمم نوسانگر است و دامنه سرعت نامیده می شود. معادله 1.30 را مستقیما می توان با مشتق گیری از معادله 1.28 به دست آورد.

از معادله ی  1.29  معلوم می شود که زاویه   اختلاف فاز سرعت و نیروی راننده است. هنگامی که این زاویه مثبت باشد سرعت نسبت به نیرو عقب است و هنگامی که منفی باشد سرعت نسبت به نیرو جلو است. در فرکانس های زیاد،  مثبت و نزديك °90 است؛ و در فرکانس های خیلی کم منفی و نزديك °90 است. در فرکانس متوسطی راكتانس مکانیکی صفر می گردد، و سرعت و نیروی مؤثر همفاز می شوند. در این فرکانس، دامنه سرعت نیز دارای مقدار ماکسیمم و برابر  است.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت