مبانی آکوستیک

ارتعاش صدا

بخش هشتم

مدار الکتریکی معادل نوسانگر مکانیکی ساده

بسیاری از دستگاه های مکانیکی و آکوستیکی، از نظر ریاضی، معادل دستگاههای الکتریکی مشخصی هستند. مثلا مداری الکتریکی که شامل القای L، مقاومت R، و خازن C است و بوسیله ولتاژ جیبی  تحريك شده باشد دارای معادله دیفرانسیل زیر است:

که در آن q بار الکتریکی خازن، و  شدت جریان است. اگر معادله بالا را  بر حسب q بنویسیم به این صورت در می آید:

که با معادله ی 32-1  دستگاه مکانیکی مرتعش همانندی کامل دارد؛ و در آن m معادل L،  معادل R ، 1/C معادل s و E معادل F است. حل قسمت پایدار معادله a36-1 چنین است

که در آن  و  و   . بنا بر شرح فوق، شدت  i دستگاه الکتریکی مشابه سرعت v در دستگاه مکانیکی است، و بار الکتریکی q در دستگاه الکتریکی همانند تغییر مکان x است.

با مقایسه مستقیم می توان دریافت که فرکانس رزونانس الکتریکی بدین صورت است

و توان متوسط الکتریکی بدین مقدار است

| W =

می توان نشان داد که اگر در نوسانگر مکانیکی ساده نیروی راننده جیبی به جای اینکه

به انتهای متصل به جرم فنر وارد شود به انتهای دیگر ثابت آن تأثیر کند دستگاه معادل مداری الکتریکی است که شامل يك قرقره ويك خازن به طور موازی باشد؛ و سرعت دستگاه در انتهای فنی که تحت تأثير نيرو قرار گرفته است معادل جریانی است که در مدار موازی وارد شود..

رابطه های فاز و اميدانس

در حالت رزونانس زاوية   صفر است و نیروی راننده و سرعت رزونانس همفاز ند، درحالی که مسافت نسبت به آنها  عقب است. هرگاه فرکانس  از  فرکانس رزونانس بیشتر باشد، راكتانس مکانیکی و فاز  هر دو مثبت اند و سرعت نسبت به نیروی راننده عقب می افتد. مقدار عقب افتادگی آن با زیاد شدن  افزایش می یابد و چون    به سوی بینهایت میل کند مقدار آن به °90 میل می کند، در حالی که در این حال عقب افتادگی مسافت نسبت به F به ° 180 نزديك می شود. هر گاه فرکانس   کمتر از  باشد، راكتانس مکانیکی و فاز هر دو منفی اند و سرعت از نیروی راننده جلو می افتد. اگر ها به سوی صفر میل کند مقدار جلو افتادگی آن افزایش می یابد و به °0 نزديك می شود. در حالی که از عقب افتادگی مسافت نسبت به نیرو کاسته می شود و به سوی صفر میل می کند. در دستگاهی که دارای مقاومت مکانیکی اندك باشد، اختلاف فاز بين سرعت و تغییر مکان نسبت به نیروی راننده در نزدیکی فرکانس رزونانس با جزئی تغییر    به سرعت تغییر می کند.

دستگاههای مکانیکی که با تأثیر نیروی تناوبی به نوسان در می آیند بنا بر کاربردهای گوناگون به سه گروه تقسیم می شوند. در گروه اول دستگاه به يك فرکانس مخصوص پاسخ قوی می دهد. در این حال مقاومت مکانیکی نوسانگراند و در نتیجه امپدانس دستگاه برای تمام فرکانسها، به جز فرکانس های نزديك فرکانس رزونانس، نسبتا زیاد است؛ وچنين نوسانگری در فرکانس های نزديك به فرکانس رزونانس با قوت پاسخ می دهد. یعنی دامنه های سرعت در حدود این فرکانس زیاد است. رزوناتورهای دیاپازن و رزوناتورهایی که زیر میله های کسیلوفون می گذارند و همچنین تراگذارهای صوتی که با خاصیت مانیتو استریکتیو کار می کنند جزء این گروه اند.

در گروه دوم دستگاه به چند فرکانس معین پاسخ قوی می دهد. نوسانگر ساده از عهده چنین کاری بر نمی آید. ولی دستگاه هایی مکانیکی می توان طرح ریزی کرد که دارای این خاصیت باشند. در فصل های آینده به آنها خواهیم پرداخت.

در گروه سوم، دستگاه به نوار گشاده ای از فرکانسها، به طور کمابیش یکسان پاسخ می گوید. بسیاری از تراگذارهای الکترو آکوستیکی، مانند میکروفون، بلندگو ، هیدروفون، و تراگذارهای صوتی کریستالی و جعبه رزونانس اسباب موسیقی مانند پیانو و غیره باید از این گروه شمرده شوند. در کاربردهای گوناگون کمیتی که باید دامنه اش نسبت به فرکانس ثابت بماند متفاوت است. در برخی موارد باید دامنه مسافت به فرکانس وابسته نباشد، در برخی باید دامنه سرعت ثابت بماند، و در بعضی دیگر دامنه شتاب تغییر نکند، با انتخاب مناسب سختی، جرم، و مقاومت مکانیکی می توان نوسانگر را با هر يك از این حالات تطبیق داد. و نوسانگرهایی که دارای هر يك از سه خاصیت فوق باشند اصطلاحا سختی تنظیم شده، مقاومت تنظیم شده و جرم تنظیم شده نامیده می شوند. در نوع اول مقدار   برای نوار فرکانس  مورد نظر زیاد است به طوری که   و   نسبت به آن قابل چشم پوشی هستند و آن نزديك   است، چنانکه می توان نوشت

باید توجه داشت که با اینکه دامنه مسافت به فرکانس بستگی ندارد، ولی دامنه سرعت به آن وابسته است.

در نوع دوم، مقاومت تنظیم  شده، نسبت به راكتانس   بزرگ  گرفته می شود. این هنگامی است که اولا نوسانگر دارای مقاومت مکانیکی زیاد باشد، و در ثانی در حدود فرکانس رزونانس کار کند. در این حال می توان نوشت:

 چنانکه از فرمول های بالا نتیجه می شود، دامنه سرعت به فرکانس زاویه ای   بستگی ندارد، در حالی که دامنه مسافت و دامنه شتاب هر دو به    بستگی دارند.

در نوع سوم، جرم تنظیم شده ، مقدار    در نوار فرکانس مورد نظر زیاد گرفته می شود،

چنانکه   و  R در برابر آن قابل چشم پوشی باشند. در این حال برابر  است، و دامنه سرعت و دامنه مسافت هر دو به فرکانس بستگی پیدا می کنند

چون شتاب را به دست آوریم

می بینیم که دامنه آن به فرکانس بستگی ندارد.

هر دستگاه مکانیکی نوسان کننده ای برای فرکانس های نزديك به فرکانس رزونانس خود، از نوع دوم یعنی مقاومت تنظیم شده است، و هر چه مقاومت مکانیکی آن کمتر باشد نوار فرکانس های پاسخ آن کوتاه تر است. همچنین هر دستگاه نوسان کننده ای برای فرکانس های بسیار کمتر از فرکانس رزونانس، از نوع اول یعنی سختی تنظیم شده است و در فرکانس های بسیار بیشتر از فرکانس رزونانس از نوع سوم یعنی جرم تنظیم شده است. با انتخاب مناسب پایاهای مکانیکی دستگاه می توان آن را در حدود فرکانس های مورد نظر تنظیم کرد. ولی مقادیر حساب شده آنها را همیشه در عمل نمی توان ایجاد کرد.

پاسخ ناپایدار نوسانگر. پیش از نتیجه گیری از بحث مربوط به نوسانگر ساده بهتر است تأثیری را که پاسخ ناپایدار بر قسمت پایدار می گذارد روشن سازیم. حل كلي معادله 1.23 چنین است:

که در آن A و   پایاهای اختیاری هستند که مقادیر شان با تعيين شرایط ابتدایی یعنی   و   در 0=t مشخص می شوند.

مورد خاصی را در نظر میگیریم که در  ، مسافت و سرعت برابر صفر باشند،  و نسبت به  و  كوچك باشد. با وارد کردن این شرایط در معادله  1.40، به دست  می آید

و

تاثیر پاسخ ناپایدار بر پاسخ پایدار در شرايط فوق در دو مورد   و   در منحنی های شکل  1.9 روشن می شود. این تأثیر در سمت چپ منحنيها، يعني آغاز ارتعاش، نمایان تر است و در قسمت راست منحنی که قسمت پایدار میرا شده، تأثیر آن از بین رفته و حالت پایدار برقرار مانده است.

شكل 1.9  حر کت واداشته يك نوسانگر ميرا که شامل پاسخ با پایدار است. منحنی  (a) پاسخ را برای  و  منحنی (b) برای  می دهد. منحنی های خط چین نیروی به کار برده شده را بر حسب زمان و منحنی های بدون خط چین تغییر مکان های متناظر با این نیروها را نشان می دهند.

 در شرایط دیگر، منحنی هایی شبیه به این منحنيها می توان رسم کرد، که در همه آنها تأثیر قسمت ناپایدار در آغاز ارتعاش سبب نامنظمی ارتعاش پایدار می گردد، و پس از زمان کوتاهی تأثیر آن از میان می رود و قسمت پایدار برجا می ماند.

پاسخ ناپایدار نوسانگر پس از قطع آنی نیروی راننده ظاهر می شود، و آن را  تباهی ناپایدار می نامند. معادله ارتعاش آن بعين همان معادله ارتعاش میرا،   است و فرکانس آن   است نه  پایاهای معرف دامنه و فاز آن بستگی به قسمتی از پریود ارتعاش دارد که در آن نیروی راننده حذف گردیده است . اگر حذف نیروی راننده آنسی نباشد، یعنی دامنه آن به آهستگی به صفر برسد، تأثير تباهی ناپایدار رو به کاهش می رود، خصوصیات تباهی ناپایدار در هما ندهی وسایل تقویت صوت مانند میکروفون و بلندگو، نقش قابل ملاحظه ای دارند. نمونه ای از نزول ملایم در بر آهنگی برخی از بلندگوها قابل توجه است.

1.1 . هرگاه مقدار حقیقی تابع مختلط    به صورت  باشد نشان دهید که مقدار حقیقی  برابر   نیست.

1.2 نشان دهید که  معادل   است.

1.3 . جرم m به نقطه ای از سیم افقی به طول l کشیده شده با کشش T ، بین دو پایه محکم بسته شده است. (a) هنگامی که جرم m به مقدار کو چك  x تغییر مکان یابد نیروی برگرداننده آن، f، را حساب کنید.

در این محاسبه T را ثابت و تأثیر نیروهای گرانشی را قابل چشم پوشی فرض کنید. (b) در صورتی که دامنه حرکت جرم m چنان كوچك باشد که بتوان مقادیر سینوس و تانژانت زاویه های بین امتدادهای مقیم و امتداد افق را برابر گرفت، فرکانسن، ارتعاش ، قائم جرم  را  با رابطه ای مشخص کنید.  (c): جرم m  به چه فاصله ی  a از ، مبدأ سیم قرار گیرد، تا فرکانس ارتعاش آن می نیمم شود.

1.4. دستگاه مرتعشى از يك جرم m  و دو فنر تشکیل شده است. جرم m  به فنر اول با ثابت سختی   و طول ابتدایی  آویزان است. این فنر  به فنر دیگری با ثابت سختی   وطول ابتدایی  كه يك سر آن ثابت است آویزان شده. دستگاه در امتداد قائم تحت تأثیر نیروی سنگینی به حال تعادل قرار گرفته است. (a) باچشم پوشی از جرم فنرها، ازدیاد طول دستگاه براثر نیروی گرانشی   را حساب کنید. (b) رابطه ای پیدا کنید که فرکانس اصلی ارتعاش دستگاه را به دست دهد

1.5 . به يك سر تیر بلند چوبی به شعاع مقطع m  1/0 وزنه ای بسته اند، چنانکه به طور قائم در آب می ایستد. اگر سر دیگر تیر را اندکی در امتداد قائم فرو برده رها سازیم تیر با پریود 4 ثانیه به نوسان در می آید. جرم دستگاه را حساب کنید. .

1.6 . ارتعاشی به معادله   است. (a) منحنی تغییرات x را بر حسب t رسم کنید. (b) در چه زمانی تغییر مکان x ماکسیمم است؟ (c) در چه زمانی سرعت ماکسیمم است؟ (d) مقدار ماکسیمم سرعت چقدر است ؟

1.7 ، نشان دهید که   دامنه حرکت برآیند  n ارتعاش هارمونيك ساده ، که دامنه آنها  A و فرکانسشان  است و دارای فازهای  ،  و  هستند از رابطه زیر به دست           می آید:

-1 موج مربعی با معادله  از   تا   و از  تا مشخص شده است. (a) پایاهای سری فوریه را به دست آورید. (b) نموداری از مجموع چهار جمله اول سری فوق رسم کنید و آن را با شکل موج اصلی مقایسه کنید. .

1.9 . چند جمله اول سری فوریه معادل تابع   بين  و  و  بين  و t =T  را به دست آورید

1.10. جرم  به فنری به جرم   آویزان است. ثابت سختی فنر 100  نیوتن بر متر و مقاومت مکانیکی دستگاه 0/7 کیلوگرم بر ثانیه است. (a) فرکانس نوسان آزاد و میرای دستگاه را حساب کنید. (b) هرگاه دستگاه با نیروی جیبی به دامنه 2 نیوتن رانده شود دامنه نوسان آن را حساب کنید. (6) ماکسیمم انرژی جنبشی دستگاه را هنگام تأثير نیروی فوق حساب کنید.

1.11. جرم  به فنری که از جرمش در محاسبه چشم پوشی می شود آویزان است. هنگامی که سر باری به جرم  به جرم اولی اضافه شود مقدار  بر طول فنر افزوده می گردد. در این حال اگر سر بار را یکباره حذف کنند دامنه نوسان دستگاه به  درصد یعنی مقدار اولی، در يك ثانیه می رسد. از این مشاهده ها مقادیر  ،  ،  و  حرکت را محاسبه کنید.

1.12 وزنه ای به جرم  به فنری که از جرمش در محاسبه چشم پوشی می شود آویزان است. سختی فنر100 نیوتن بر متر و مقاومت مکانیکی دستگاه 14 کیلوگرم بر ثانیه است. نیروی راننده دستگاه به صورت   نمایش داده میشود. (a) مقادیر دامنه تغيير مكان ، دامنه سرعت، و توان متوسط مصرف شده را در قسمت پایدار حرکت حساب کنید. (b) زاویه فاز را بين سرعت و نیرو به دست آورید. (c) فرکانس رزونانس و مقادیر دامنه تغییر مکان و دامنه سرعت و متوسط توان مصرف شده را در این فرکانس حساب کنید. ( Q (d دستگاه را بدست آورید و حدود فرکانس های دستگاه را برای زمانی که کاهش توان به 50 درصد مقدار آن در حالت رزونانس برسد حساب کنید.

1.13، نشان دهید که    معادله حرکت نوسانگر ساده در شرایط  میرایی بحرانی است. همچنین نشان دهید که مسافت حرکت نوسانگر ميرا در حالت بحرانی پیوسته کمتر از دامنه حرکت نوسانگر ساده ای است که دارای همان جرم و همان سختی ولی مقاومت مکانیکی کمتر باشد و با همان شرایط ابتدایی به نوسان در آید.

  1. 1. رابطه ای بین مدول تباهی و فاکتور کیفیت  در نوسانگر مکانیکی میرا به دست آورید. هنگامی که نوسانگر ساده با فرکانس رزونانس خود به نوسان در آید نشان دهید که نسبت بین انرژی مصرف شده در هر پریود و انرژی مکانیکی ماکسیمم در حالت رزونانس برابر   است.

1.15 . در نوسانگر ساده که به وسیله نیرویی رانده شده است معادله هایی به دست آورید که معرف فرکانس های مربوط به نقاطی باشد که در منحنی توان خروجی، توان به نصف مقدار ماکسیمم خود می رسد. نشان دهید که آن را می توان تقریبا به صورت

نوشت.

1.16 . جرم m به يك سر فنری که افقی قرار گرفته متصل است. از جرم فنر چشم – پوشی می شود. نیروی راننده    به سر دیگر فنر وارد می گردد. (a) در صورتی که از میرایی فنر چشم پوشی کنیم معادله حرکت نقطه انتهای فنر، يعني نقطه اثر نیروی راننده را بر حسب زمان به دست آورید. (b) نشان دهید که معادله سرعت این نقطه مشابه معادله جریان در مدار الکتریکی موازی LC است. (c) در صورتی که پایاهای دستگاه بدین مقادیر باشند:   ،  و ، منحنی نمایش تغییرات دامنه تغيير مكان و دامنه سرعت را برحسب فرکانس در حدود فرکانس   رسم کنید.

1.17 . (a) معادله شتاب حرکت نوسانگر ساده میرایی را که تحت تأثیر نیروی راننده قرار گرفته باشد به دست آورید. (b) فرکانس  مربوط به شتاب ماکسیمم را حساب کنید. (c) نشان دهید که اگر   باشد دامنه شتاب در فرکانس رزونانس  سرعت  ، برابر است با حد دامنه شتاب در فرکانس های بالا.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت