مبانی آکوستیک

تارهای مرتعش

یخش اول

ارتعاش اجسام مادی. در فصل پیش فرض بر این بود که تمام جرم دستگاه مرتعش در يك نقطه متمرکز شده، وحرکت این نقطه تابعی از زمان و نماینده حرکت تمام دستگاه است. در بسیاری از موارد، دستگاه مرتعش را نمی توان به این سادگی در نظر گرفت. در نوسانگر ساده، که از جرم متصل به فنر تشکیل شده ، جرم تمام دستگاه را نمی توان در انتهای فنر فرض کرد. روشی که برای منظور کردن جرم فنر در 1.8  بكار بردیم تقریبی بود، زیرا زمانی را که برای انتشار نیرو در فنر لازم است در محاسبه منظور نداشتیم. همچنین مقدار زیادی از جرم دیافراگم بلندگو به طور یکنواخت در سطح آن پخش شده است، و چون هر قسمت از سطح دیافراگم ارتعاش خاص خود را دارد بنابراین ارتعاش مجموع دیافراگم با تشخیص ارتعاش هر يك از نقاط سطح آن، که تابع جداگانه ای از زمان است، روشن می شود. پیش از آنکه این گونه ارتعاش های درهم را مورد مطالعه قرار دهیم ارتعاش هایی با مدهای ساده تر، مانند ارتعاش تار مرتعش و ارتعاش میله، را مطالعه می کنیم. ارتعاش های عرضی تار مرتعش بیشك طبیعی ترین نمونه انتشار موج و بحث آن است؛ و آغاز مناسبی برای مطالعه این موضوع به شمار می رود. ولی در این مورد نیز احتیاج به چند فرض ساده کننده است، که در عمل وجود ندارند و ما را به نتیجه نزديك می کنند و پدیده اصلی موج را روشن می سازند.

انتشار موج عرضی در تار مرتعش.

يك روش برای تحلیل ارتعاش های عرضی  تار این است که حرکت تعداد معینی از جرمهای مساوی را در نظر بگیریم که در طول تار بيجرمی به فاصله های مساوی قرار گرفته اند، و سپس این تحلیل را به تعداد بیشماری جرم بسط دهیم که فاصله آنها بی اندازه کم باشد. بدین ترتیب بینهایت معادله مربوط به بینهایت  نقطه جر مدار تار مرتعش خواهیم داشت که حل آنها معرف بینهایت فرکانس گوناگون ارتعاش است، ولی همین نتیجه را می توان از راه غیر مستقیم به طور ساده تر به دست آورد. و آن تشریح چگونگی انتشار موج. عرضی در طول تار مرتعش است.

تار درازی اختیار می کنیم که دوس آن روی دو پایه استوار گشته و با کشش متوسطی کشیده شده باشد. چون قسمتی از آن به وسیله تأثین نیروی لحظه ای از حال تعادل منحرف شود، می بینیم که تغییر شکل آن قسمت در وضع ابتدایی خود باقی نمی ماند، بلکه این آشفتگی از دو طرف آن قسمت با سرعت یکسان در امتداد تار منتشر می گردد. (شکل 2.1). وانگهی مشاهده می شود که سرعت انتشار و تغییر مکان های کوچک به شکل و دامنه تغيير مكان اولیه بستگی ندارد، و تنها به جرم و کشش تار مربوط است. آزمایش و محاسبه نشان میدهد که مقدار این سرعت چنین است:   که در آن c سرعت بر حسب متر بر ثانیه، T کشش برحسب نیوتون و   چگالی خطی تار برحسب کیلوگرم بر متر است. انتشار این آشفتگی در امتداد تار نمونه ای از انتشار موج عرضی است.

معادله موج عرضی،

اویلر نخستین بار در سال 1748 با در نظر گرفتن نیروهایی که تار را به وضع تعادل برمی گردانند معادله موج را به دست آورد. نتایج حاصل از نخل این معادله با آزمایش کاملا تطبیق می کند. فرض می کنیم تاری با سختی قابل چشم پوشی و چگالی یکنواخت   در هر يك از دو انتهای خود با کشش  7 بر پایه محکمی استوار شده – باشد. همچنین فرض می کنیم نیروهای مصرف کننده، مانند نیروهای وابسته به تابش انرژی به صورت موجهای آکوستیکی، در آن وجود نداشته باشند. هر نقطه از تار را در حال ارتعاش با مختصات x و y معرفی می کنیم.

x نماینده فاصله آن در حال تعادل از پایه سمت چپ و y  معرف تغییر مکان عرضی آن از حال تعادل است. برای تغییر مکان های جزئی کشش را در امتداد تار ثابت و برابر T فرض میکنیم (در حقیقت این کشش     است که در آن   زاویه بین مماس بر تار و امتداد افق می باشد. این قطعه ای از تار به طول  را در نظر میگیریم. نیروی مؤثر وارد به این قطعه برابر تفاضل بين مؤلفه های کشش در امتداد و در دو انتهای آن است .

که در آن      مقدار   در نقطه ی  مقدار آن در نقطه ی x  است. هرگاه در بسط تابع   به صورت سری تیلرا به دوجمله از آن اکتفا کنیم، می توان نوشت

با به کار بردن آن در   رابطه زیر به دست می آید:

چون تغییر مکان y را كوچك فرض کرده ایم، در نتیجه زاویه  θ كوچك خواهد بود، و به جای   می توان  را که برابر   و3 است به کار برد. بنابراین نیروی مؤثر وارد به قطعه ds چنین محاسبه می شود

از طرف دیگر، جرم قطعة ds برابر   است که حاصلضرب آن در شتاب   برابر نیروی مؤثر است

و چون سرعت انتشار را با رابطه

در آن وارد کنیم، معادله انتشار موج بدین صورت خلاصه می شود

و

(2.5)

حل این معادله آشفتگیهای موجی را که با سرعت و در امتداد تار منتشر می شوند معرفی می کند، و به همین دلیل آن را معادله موج می نامند.

2.4 حل عمومی معادله موج. حل عمومی معادله موج (2.5) بدین صورت است

که در آن  و  توابع اختیاری از   و  هستند. این تابعهای اختیاری ممکن است به صورت (  ،  ،  ، و غيره باشند.

معادله  2.5  معادله دیفرانسیل جزئی رتبه دوم است، بنابراین حل کلی آن دارای دو تابع اختیاری است و می توان ثابت کرد که این تابعها به صورت  و   هستند؛ یعنی هردو در معادله 2.5 صدق می کنند.    را در نظر می گیریم، مشتق جزیی اول آن بر حسب زمان بدین صورت است

 که در آن  تابع دیگری از   بدین صورت است

اگر يك بار دیگر بر حسب زمان مشتق بگیریم

که در آن   تابع دیگری از  است؛ بدین صورت:

به همین طریق مشتق اول و ثاني تابع   بر حسب  x بدین صورت محاسبه و به نتیجه زیر می رسد:

چون مشتق های ثانی  2.7 و a 2.7 را در معادله دیفرانسیل  2.5  قرار دهیم طرفین آن برابر می شوند، پس   حل آن معادله به شمار میرود.

به همین ترتیب می توان ثابت کرد که  حل دیگر آن محسوب می شود. پس  حل کلی آن جمع این دو تابع است.

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت