مبانی آکوستیک

ارتعاش پوسته های گرد و ورقه ها

بخش چهارم

ارتعاشهای واداشته در پوسته. فرض می کنیم پوسته گردی تحت تأثیر نیروی راننده سینوسی به ارتعاش در آید، و فشار وارد بر آن بطور یکنواخت فقط در امتداد معین و تقسیم شود. با این فرض،  ؛ یا به صورت مختلط

می شود. بنابراین معادله حرکت با این عبارت معرفی می گردد

اگر ارتعاش پوسته به حالت پایدار برسد، حل معادله فوق را در این حالت می توان بدین صورت معرفی کرد

اگر حل معادله بالا را در معادله 4.27 به کار بریم، تابع    به صورت عبارت زیر بیان می شود

که در آن

یاد آوری می کنیم که در پوسته واداشته، فرکانس   و ثابت طول موج k دارای مقادیر اختیاری هستند که به فرکانس نیروی راننده بستگی دارد و به شماره معینی از مقادیر ، چنانکه در ارتعاشهای آزاد شرح آن گذشت، محدود نیستند.

حل كامل معادله 4.29 مجموع دوجمله است، یکی حل عمومی معادلة  و دیگری حل اختصاصی

بنا بر این تابع    به صورت زیر خلاصه می شود

رعایت شرط مرزی  و به ازای   مقدار ثابتی برای A بدین صورت به دست میدهد

اگر  و A را در معادله 4.28 به کار بریم، معادله تغییر مکان پوسته بدین صورت در می

همچنین تابع با به کار بردن A در رابطه 4.30 چنین خلاصه می شود

چنانکه ملاحظه می شود، دامنه تغییر مکان نسبت مستقیم با نیروی راننده و نسبت معکوس با کشش پوسته دارد. و رابطه آن با فرکانس در هر نقطه از دستگاه مختصات با جمله داخل کروشه روشن می گردد. هرگاه فرکانس نیروی راننده    با یکی از فرکانسهای آزاد پوسته که با معادله 4.14 یا 4.140 مشخص می شود برابر گردد،  صفر و بی نهایت می شود. ولی در عمل همیشه نیروها میرا هستند، و در معادلة 4.27 می توان آن را با جمله ای مانند    به كار برد؛ و در نتیجه دامنه های  به مقدارهای ماکسیمم معینی محدود می گردند.

مهمترین کاربرد پوسته واداشته، در دیافراگم گرد میکروفون خازنی است، که در آن موج تابش صوتی در برخورد به پوسته فلزی ناز کشیده شده ایجاد نیروی راننده يکنواختی در برابر صفحه فلزی دیگری که در مقابل آن قرار گرفته، می کند. تغییر مکان پوسته در اثر ارتعاش، سبب تغییر ظرفیت خازن حاصل از پوسته و صفحه می گردد و ولتاژی متناسب با تغییر مکان متوسط پوسته تولید می کند. شرح جزئیات این نوع میکروفون در فصل 11 خواهد آمد.

تغییر مکان متوسط پوسته واداشته بدین مقدار است

در فرکانسهای پایین که در آنها ka کوچکتر از واحد باشد می توان نوشت

که میدهد

اگر مقدار کسر فوق را در معادله 4.33 به کار بریم، تغيير مكان متوسط چنین می شود

چنانکه ملاحظه می شود، تا هنگامی که فرکانس نیروی راننده به میزانی کم باشد که ka کوچکتر از واحد شود، تغییر مکان متوسط دیافراگم میکروفون به فرکانس بستگی ندارد، و در این حدود فرکانس اشکالی از لحاظ رزونانس پیش نمی آید. زیرا نخستین فرکانس رزونانس به ازای  پدیدار می گردد. اگر مقدار k را بر حسب فرکانس به دست آوریم

و حدود فرکانسهای پاسخ يکنواخت میکروفون خازنی را با شرط 1> ka تعیین کنیم، فرکانسهای پاسخ یکنواخت میکروفون با شرط زیر معرفی می شوند

f حد فوقانی فرکانسهای پاسخ یکنواخت میکروفون است و با افزایش کشش، T، یا کاهش شعاع دیافراگم، a، می توان مقدار آن را بالا برد. میکروفونهای خازنی کوچکی ساخته شده اند که حدود فرکانسهای پاسخ يكنواخت آنها بسیار وسیع است. یاد آوری می کنیم که افزایش T یا کاهش a سبب کاهش دامنه متوسط تغییر مکان  و در نتیجه ولتاژ خروجی میکروفون می شود.

هر گاه نیروی میراکننده  در معادله 4.27 وارد شود، حل نهائی تغيير مكان y مشابه معادله 4.32 است، ولی در این حالت   و مقدار آن از این رابطه به دست می آید

می توان نشان داد که وجود جمله  در عبارت بالا دامنه متوسطه را در حال رزونانس به مقدار معینی می رساند. با انتخاب مناسب مقاومت R می توان مقدار دامنه را در اطراف رزونانس چنان پایین آورد که سبب افزایش وسعت نوار فرکانسهای پاسخ یکنواخت در اولین فرکانس رزونانس یا اطراف نزديك به آن، گردد. این روش در میکروفونهای تجارتی برای افزایش حدود فرکانسهای پاسخ يكنواخت به کار می رود.

شکل 4.4 . منحنی پاسخ دامنه متوسط تغيير مكان پوسته رانده شده به عنوان تابعی از فرانسه

در شکل 4.4 منحنی پاسخ دامنه متوسط تغییر مکان  يك پوسته واداشته به وسیله معادله 4.23 نمایش داده شده است. چنانکه ملاحظه می شود، به ازای

دامنه بینهایت می شود. ولی با انتخاب مقدار مناسب R می توان آن را به میزانی پايين آورد که حدود مقادیر قبل و بعد از رزونانس، باقی بمانند و پاسخ يکنواخت شود. منحنی نقطه چین، وضع منحنی پاسخ را در حال رزونانس نشان می دهد. در هر دو منحنی، دامنه پاسخ به ازای فرکانس مربوط به   صفر است، که در آن مقدار  می گردد. در فرکانسی در حدود 60 درصد بالاتر از اولین فرکانس رزونانس، دايره گرهی در کناره خارجی پوسته ظاهر می شود و اگر فرکانس به تدریج افزایش یابد این دایره رو به مرکز متوجه می شود؛ یعنی شعاع آن به تدریج کوچک می گردد. تغییر مکان پوسته در قسمت داخلی و مرکزی این دايره نسبت به نیروی راننده دارای فاز مخالف است؛ در حالی که تغییر مکان قسمتهای خارجی دایره با نیروی راننده همفاز است، در نتیجه تغییر مکانهای نقاط پوسته در این دو قسمت با یکدیگر مختلف العلامه هستند، و متوسط تغییر مکانهای نقاط پوسته حاصل جمع جبری آنها می شود که به ازای  برابر صفر می گردد، و پاسخ میکروفون در این حال صفر است.

4.9 ارتعاشهای آزاد نامتقارن در پوسته گرد. هنگامی که ضربه به مرکز پوسته نقاره وارد شود ارتعاشهای پوسته مجموعه ای از مدهای ارتعاشی متقارن است. یعنی حالات ارتعاشی نقاط واقع بر هر دایره به مرکز پوسته، یکسان می باشد. ولی اگر ضربه به نقطه ای غیر از مرکز پوسته وارد شود، حالات ارتعاشی نقاط واقع بر دایره یکسان نیستند، و بستگی به وضع هر نقطه دارد که می توان با زاویه 0 یعنی زاويه بين شعاع وارد بر آن نقطه و محور انتخابی  x يا  z، تعیین کرد. در این صورت تغییر مکان y و هر نقطه تابعی از سه متغير r و    و  خواهد بود؛ يعني   و دو ومی توان حل هارمونيك معادله موج دو بعدی  را به صورت زیر فرض کرد

که حاصلضرب سه جمله است که هر يك فقط تابع يك متغیر است

اگر این مقدار را در معادله 4.5a قرار دهیم، معادله زیر به دست می آید

اگر هر يك از جمله های معادله بالا را در   ضرب کنیم و جمله های دارای r را به یک  سمت انتقال دهیم رابطه زیر به دست می آید

سمت چپ معادله ی  بالا فقط تابع r و سمت راست تنها تابع است و تساوی بالا برقرار نخواهد بود مگر اینکه هر يك از آنها برابر مقدار ثابتی باشد. اگر این مقدار ثابت را  فرض کنیم می توان نوشت

که حل هارمونیک آن به صورت زیر است

مختصه سمتی    خود دوره ای است و دوره تناوب آن  است. چون    معرف وضع هر نقطه است می توان نوشت

و این خاصیت مقادير  را به عددهای صحیح  محدود می سازد.

اگر سمت چپ معادله 4.38a را برابر  قرار دهیم، به صورت معادله دیفرانسیل بسل (412) در می آید که حل آن چنین است

بنابراین حل هارمونيك كامل و به صورت مختلط بدین صورت است

و مقدار حقیقی آن چنین می شود

که در آن زاوية فاز سمتی a یکی از ثابتهای اختیاری حل معادله است، و بستگی به مختصات زاویه ای نقطۂ تحريك پوسته دارد. به ازای هر مقدار m امتدادهای شعاعی را با زاویه    مشخص می سازد که معرف خطهای گرهی هستند.

شکل 4.5 چند مد ارتعاشی ساده مربوط به معادله ی  4.42 را که در آن  aبرابر صفر گرفته شده است نشان میدهد. عددهای صحیح m شماره خطهای گرهی شعاعی را مشخص میسازند، در صورتی که عددهای صحیح n معرف شماره دایره های گرهی هستند. کمترین مقدار n يك است و معرف مد ارتعاشی است که در آن دایره گرهی در مرز   می باشد.

به ازای هر مقدار صحیح m مجموعه ای از مدهای ارتعاشی شعاعی پدیدار می شوند که فرکانس در آنها افزایش می یابد. هنگامی که  باشد فرکانسهای مجاز آنهایی هستند که برای حالت متقارن در 4.14 وa 4.14 به دست آمدند. برای  فرکانسهای مجاز از  و برای    از   و غیره، به دست می آیند. در جدول 4.3 چند فرکانس  گر نسبت به فرکانس اصلی  نشان داده شده است.

روش ریاضی بالا که برای حل معادله a4.5 در پوسته گرد به کار برده شد، روش «جداساختن متغیرها» بود. این روش را در مورد پوسته مربع برای حل معادله 4.4 نیز  می توان به کار برد.

جدول 4.3 فرکانسهای نسبی پوست گرد

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت