مبانی آکوستیک

ارتعاش پوسته های گرد و ورقه ها

بخش پنجم

ارتعاش ورقهای نازك.

فرق اساسی ارتعاشهای پوسته و ورق نازك در این است که نیروهای برگرداننده در پوسته از کشش وارد به اطراف آن ایجاد می گردد، درصورتی که در ورق نازك این نیرو در اثر سختی جنس آن پدیدار می گردد. چنانکه همین اختلاف بين نیروهای برگرداننده عرضی در تارهای مرتعش و میله های مرتعش وجود دارد.

بحث خود را در باره ورق نازك به ارتعاشهای متقارن محدود می سازیم. بحث دقيق ریاضی این حالت به معادله زیر منتهی می شود که می توان با مقایسه با معادله های میله و پوسته صحت آن را تحقیق کرد

که در آن   چگالی حجمی است بر حسب کیلو گرم بر متر،    نسبت پو آسون، Y مدول یانگی، و    شعاع سطحی ژیراسیون است. برای ورق يكنواخت بضخامت t مقدار  برابر  است.

چون نیروی برگرداننده در ورق گرد بستگی به مقاومت ارتجاعی آن دارد، در نظر اول می توان پیشگویی کرد که ضریب جمله سمت راست معادله بالا مشابه این ضریب در معادله ارتعاش عوضی میله و به مقدار  – است ولی این فرض کاملا صحیح نیست زیرا در مورد ورق هر انبساط طولی همراه با تراکم عرضی است و به عکس همچنین، و نسبت آن دو در هر ماده مقدار معینی دارد که به نسبت پو آسون معروف است. این پدیده سبب افزایش سختی در ورق می شود، و در نتیجه ضريب فوق به مقداری که در مورد ارتعاش عرضی میله است، باقی نمی ماند. اگر تراکم عرضی ورق را با  و انبساط طولی آن را با نمایش دهیم، نسبت پو آسون و در آن می شود

چون با انبساط مثبت طولی انبساط عرضی منفی، و تراکم – مثبت است، نسبت پو آسون پیوسته عددی مثبت است، و مقدار عددی آن در اغلب موارد تقریبا برابر 3/0 است.

جمله سمت راست معادله 4.43 نماینده ارتعاش ورق گرد، دارای مشتق جزئی درجه چهارم و مشابه جمله سمت راست معادله موج عرضی در میله است، که به صورت قطبی   بدل شده باشد.

در ارتعاشهای هارمونيك سادة ورق،

y را به عبارت زیر بیان می کنیم

که در آن  تنها تابعی از  r است. با این فرض، معادله 4.43 بدین صورت در می آید

که در آن

معادله دیفرانسیل 4.46 را می توان به شکل اوپراتور چنین نوشت

اوپراتور  دارای خاصیتی است که می توان آن را مانند عبارت جبری به دو حاصل ضرب بدین صورت تجزیه کرد

بنابراین هريك از دو معادله  یا حل جداگانه ای از به دست میدهد و حل کامل معادله 4.48 مجموع دو حل بالا است.

معادله اول آن شبیه معادله 4.8 است که در مورد پوسته گرد به دست آمد و حل آن چنين است

و حل معادله دوم با گذاردن  به جای K در معادله اول به دست می آید

و معمولا بدین صورت نوشته می شود

که به تابعهای هیپر بوليك بسل شهرت دارد و متغیر مطلق آن انگاری است. معادله بالا حل معادله ای شبیه معادله بسل به صورت زیر است

و ارتباط آن با توابع معمولی بسل بدین صورت است

باید توجه داشت که تابعی متناوب است در صورتی که و با افزایش x، افزایش می یابد؛ بدین معنی که  تابعی مانند تابع کسینوس میر است، در حالی که  به کسینوس هیپر بوليك شباهت دارد. رابطه های سودمند دیگری به صورت زیر برای  وجود دارند

مقادير تابعهای و و را در جدول III ضمیمه داده شده اند.

حل معادله 4.48 چنين است

حل بالا دارای دو ثابت اختیاری است، و چون معادله دیفرانسیل موج در این حالت از درجه چهارم است و چهار ثابت اختياري لازم دارد بنابراین 4.52 حل کامل معادله موج نیست. ولی چون مقدار دامنه به ازایباید مقدار معینی داشته باشد، و این شرط در دو حل دیگر صدق نمی کند، لذا در حل دیگر مورد قبول نیستند.

شرایط مرزی

برای محاسبه ثابتهای A و B، باید چگونگی درگیری دیافراگم روشن شود. بیشتر معمول این است که دیافراگم در پیرامون خود محکم نگاهداری شود. در این صورت، شرط مرزی آن است که به ازای این رابطه ها برقرار باشند

رابطه ی  اول به ازای ، در معادلة 4.52 رابطه زیر را به دست می دهد

و از شرط مرزی دوم رابطه زیر به دست می آید

زیرا

دو شرط بالا را می توان چنین نوشت

و از تقسیم آنها خواهیم داشت

که از روی آن می توان مقدار های Ka را برای فرکانس های مختلف به دست آورد. از جدولهای تابعهای بسل مقدارهای Ka که در معادله بالا صدق می کنند عبارتند از

یا تقريبا

هر چه n بالاتر می رود تقريب بهتر می شود.

از معادله 4.47 رابطه بین و K به دست می آید

و با قراردادن مقدار برای K، فرکانس اصلی چنین به دست می آید

که در آن t ضخامت ورق است. فرکانسهای مدهای مجاز هارمونيك فرکانس اصلی نیستند و عبارتند از

چنانکه ملاحظه می شود، فرمانده های فرعی هارمونيك فرکانس اصلی نیستند و با مقایسه با فرکانسهای فرعی پوسته گرد، زیادتر از هم دور می شوند.

تغییر مکان حقیقی ورق نازك گرد، که با مد اصلی خود ارتعاش می کند، چنین است

مقدار بر حسب از شرط مرزی، معادله 4.54 به دست می آید

و از آنجا

باید توجه داشت که دامنه ارتعاش مرکز برابر نیست، بلکه برابر  است . مقایسه شکل تابع

برای يك ورق گرد نازك که در مد اصلی خود ارتعاش می کند، با تابع نظیر

برای يك پوسته، نشان می دهد که تغییر مکان نسبی ورق در نزدیکی کنار خود کوچکتر از تغيير مكان پوسته مشابه آن در کنار خود می باشد. بنابراین، می توان پیش بینی کرد که نسبت دامنه متوسط ارتعاش ورق به دامنه مرکز آن کمتر از نسبت مشابه در پوسته است. چنانکه با به کار بردن معادله 4.17 و محاسبه دامنه متوسط این نكته مسلم می شود

که در آن  دامنه ماکسیمم در مرکز ورق است. بنا براین، ورق گرد را می توان با يك پیستون مسطح معادل تعویض کرد، بطوریکه

ورق های بار شده و واداشته.

بحث در باره ورقهای بارشده و ورقهای واداشته در این حالتها مشابه پوسته است. منحنیهای پاسخ برای نیروی راننده یکنواخت مشابه منحنی شکل 4.4 است، و دامنه های وسیعی در حدود فرکانس رزونانس دارد؛ مگر در حالتهایی که نیروهای میر ای قابل ملاحظه وجود داشته باشند. در میکروفنهای خازنی می توان به جای دیافراگم به صورت پوسته های کشیده، دیافراگمی به شکل ورقهای ناز به کار برد. در اینصورت نمی توان در آنها در عین حال هم حساسیت را زیاد کرد و هم فرکانس رزونانس را بالا برد. بدینجهت در میکروفون خازنی اغلب پوسته به کار می برند ولی در میکروفونهای خازنی بسیار کوچک به کار بردن ورق معمول شده است.

مهمترین کاربرد ورق نازك مرتعش در ساختن دیافراگم گوشی و دهانی تلفنهای معمولی است. با اینکه پاسخ آنها در حدود وسیعی از فرکانس یکنواخت نیست، ولی به سبب سادگی ساختمان کاربرد بسیار پیدا کرده است. کاربرد دیگر آنها در تراگذارهای صوتی در آب است که برای فرکانسهای کمتر از 1000 سیکل در ثانیه به کار می روند و در آنها ورق فولادی نازکی به وسيله میدان مغناطیسی متناوبی به ارتعاش در می آید.

هوای مجاور پوسته یا ورق مرتعش در مقابل آنها عکس العمل مقاومتی دارد که می توان به بارشدن آنها تشبیه کرد. این بار مقاوم در حقیقت نوعی امپدانس مکانیکی است که بطور یکنواخت بر صفحه آنها توزیع شده است. این امپدانس را می توان یا از نوع مقاومت فرض کرد که مقداری از انرژی پوسته یا ورقه را به صورت موجهای صوتی معرفی می کند یا از نوع جرم که سبب پایین آوردن فرکانس آزاد آنها می گردد. بحث مفصل این موضوعها در فصلهای 11 و 12 خواهد آمد.

 

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت