مبانی آکوستیک

رزوناتورها

بخش چهارم

رزونانس در لوله

لوله ای به طول  و سطح مقطع فرض کنیم که شاره درون آن به وسيله پیستون مرتعشی در انتهای سمت چپ، x=0 تحريك شود، و امپدانس آکوستیکی آن در انتهای سمت راست در نقطه   برابر  باشد. چون معادله 8.24a را در نقطه به کار بریم این رابطه به دست می آید

این معادله دامنه فشار بازتاب B را به حسب دامنه فشار تابش A به دست می دهد. همچنین امپدانس ورودی  و در نقطه   این است

از ترکیب معادله 8.34 و 8.33 دامنه های فشار مختلط A و B حذف می شوند و عبارت زیر حاصل می شود

چنانکه ملاحظه می شود، امپدانس ورودی نه تنها به امپدانس انتهایی  بستگی دارد بلکه به طول  لوله و همچنین پایای طول موج،  ، مربوط است.  

فرکانس رزونانس چنین لوله را می توان با صفر قرار دادن مؤلفه راکتیو امپدانس ورودی به دست آورد. در این فرکانس برای منبعی با دامنه نیرو با فشار ثابت، امپدانس ورودی مینیمم و توان تابش در دهانه باز ماکسیمم است. اگر به جای  عبارت  را به کار بریم معادله ی 8.35  به صورت زیر نوشته می شود

که با شرط بدين عبارت خلاصه می شود

در حالتهای حد در فرکانسهای پایین که  و  نسبت به واحد کوچکند، معادله بالا تقريبا بدین صورت در می آید

هنگامی که لوله در انتهای خود،  ، به کنار بینهایتی متصل باشد وشرط  با این رابطه تأیید می شود

که در آن n عدد صحیح است. بنابراین

و فرکانس اصلی رزونانس به ازای  به دست می آید

روشن است که طول مؤثر لوله  نیست، بلکه  است. این پیشبینی تصحیح برای لوله کناره دار با مقادیر اندازه گیری شده به وسيله آزمایش، ، مطابقت دارد. مقدار تصحیح اندازه گیری شده برای لوله بدون کناره 0.6a است و انتخاب  را در معادله 0.31 تأیید می کند. باید در نظر داشت که مقادیر تصحیح در انتهای لوله تنها در فرکانسهای پایین مصداق دارد که در آنها مقادیر   قابل قبول گرفته شده است. ياد آوری می کنیم که با این محدودیتها در مقادیر تصحیح، معادله 8.37 نشان میدهد که نتهای فرعی در لوله باز ارگ به صورت گروه هارمونیکها در می آیند.

اگر لوله در انتهای خود،  ، به وسیله جداری بسته شده باشد  ورودی به این عبارت خلاصه می شود .

به ازای  راكتانس برابر صفر می شود و رابطه های زیر بر قرار می گردند

برای ، معرف فرکانس اصلی ارتعاش است، که در لوله يك طرف بسته به دست می آید. نت های فرعی رزونانس شامل هارمونیکهای فرد فرکانس اصلی است و فرکانسهای زوج در آن پدیدار نمی شوند.

نظريه عمومی شاخه جانبی

به عنوان مقدمه ای برای مطالعه نظری صافی، تأثير شاخه جانبی را در انتشار موج های آکوستيک درون لوله محکمی به طول بینهایت مورد بحث قرار می دهیم. وجود چنین شاخه ای در لوله سبب می شود که امپدانس آکوستیکی در محل اتصال شاخه به مقدار مخصوص خود،  ، در موج های تخت منتشر در لوله باقی نماند، وموج بازتابی در آن ایجاد شود. به علاوه قسمتی از انرژی آکوستیکی تابش در شاخه منتشر شده و به مصرف می رسد. این دو عامل سبب کاهش انتشار انرژی در قسمتی از لوله که بعد از شاخه قرار دارد می گردند.

شکل 8.6 لوله ای به مقطع قائم ثابت S را نشان میدهد که شاخه جانبی به امپدانس ورودی  به آن متصل است. اگر موج تخت تابش با معادله

از چپ محل اتصال شاخه رو به آن به تابد موج بازتابی از محل اتصال رو به سمت چپ و موج ترا گسیلی از محل اتصال رو به سمت راست لوله با معادله های زیر منتشر می شوند

اگر نقطه اتصال شاخه را مبدأ مختصات x اختیار کنیم فشارهای حاصل در هريك از سه موج تابش، بازتاب، و تراگسیل چنین معرفی می شوند

همچنين فشار در نقطه ورودی شاخه چنین است

در بحث کامل تراگسیل موج های آکوستیکی درون لولهها چنین فرض شد که مقطع قائم لولهها در مقایسه با طول موج صوت کوچک باشد. چون این فرض در این مورد نیز برقرار است می توان با به کار بردن شرایط پیوستگی فشار در نقطه اتصال این رابطه را به دست آورد

و سرعتهای حجمی در این منطقه بدین عبارتند

شرط پیوستگی سرعت حجمی به رابطه زیر منجر می شود

چون معادله 8.46 را بر 8.44 تقسیم کنیم، این رابطه به دست می آید

که می توان به صورت زیر نوشت

که در آن

Z معرف امپدانس آکوستیکی شاخه حاصل از تأثیر موج های تابش و بازتاب و امپدانس آکوستیکی در موج ترا گسیل است. معادله 8.47  نشان می دهد B پایای دامنه موج بازتاب از حیث مقدار و فاز چنان محدود می شود که   آدمیتانس مرکب موج های تابش و بازتاب با مجموع آدمیتانس شاخه  و آدمیتانس بازتاب  برابر شود. بنابراین مشابه الکتریکی حضور يك شاخه جانبی در لوله بینهایت اتصال يك امپدانس الکتریکی  است بین دو سیم يك خط تراگسیل بینهایت چنانکه در شکل 8.7 در نمودار است. در حالت کلی تر که لوله بینهایت طویل نباشد بلکه به امپدانس انتهایی  ختم شود

امپدانس ترا گسیل  در دنباله لوله مختلط است و از معادله ی 8.35  به دست می آید.

حل معادله 8.47 بر حسب و  ، نسبت دامنه فشار موج بازتاب به دامنه فشار موج تابش را بدین عبارت می رساند .

نسبتهای نظیر برای موج ترا گسیل و فشار ورودی شاخه از ترکیب معادله های به دست می آیند، وعبارتند از 8.48 و  8.49  به دست می آیند ، و عبارتند از :

 

برای به دست آوردن ضریب های توان بازتاب ترا گسیل بهتر است امپدانس شاخه را به صورت

و ضریب توان ترا گسیل به صورت زیر در می آیند

نسبت توان منتقل شده به شاخه به توان تا بش از رابطه  بدین عبارت است

گوشزد میسازیم که توان تراگسیل پس از گذار موج از محل اتصال شاخه هنگامی صفر  است که باشد، و آن هنگامی دست می دهد که  و   هر دوصفر باشند. در يك صافی که این شرط صادق باشد تمام انرژیی که به محل اتصال شاخه می رسد جذب آن نمی شود، بلکه به عکس تقریبا 100 درصد انرژی تابش در برخورد به آن بازتاب می یابد و درون لوله به سوی منبع بر می گردد. اگر  بزرگتر از صفر فرض شود، ولی بینهایت نباشد، مقداری از انرژی صوتی درشاخه مصرف می شود و مقداری به دنباله لوله پس از محل اتصال شاخه منتقل می شود که بستگی به مقدار خارجی  ندارد. در مقابل هر گاه   یا  در برابر  زياد بزرگی باشند تقریبا 100 درصد توان تا پیش به دنبال لوله پس از محل اتصال شاخه منتقل می گردد، و در حد وقتی  باشد معنی آن این است که شاخه ای وجود ندارد و ضریب توان ترا گسیل برابر واحد است. یادآور می شویم که وقتی   باشد انرژی صوتی در شاخه مصرف نمی شود.

 

دیدگاهتان را بنویسید

آدرس ایمیل شما منتشر نخواهد شد. زمینه وب سایت اختیاری است.

دیدگاهپیغام شما
نامنام شما
ایمیلایمیل
وب سایتوب سایت